gcd和egcd算法、更相減損算法

歐幾里德算法(gcd)又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本思路：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

代碼（python）：

    def gcd(a,b):
        if b==0:
            return a
        else:
            return gcd(b,a%b)

擴展歐幾里得算法（egcd）：

基本思路：對於不全爲 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

證明：設 a>b。
　　1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
　　2，ab!=0 時
　　設 ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
　　根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2
　  上面的思想是以遞歸定義的，因爲 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。

代碼（python）：

def egcd(a,b):
    if b==0:
        return 1,0
    else:
        x,y=egcd(b,a%b)
        return y,x-a/b*y

要理解代碼，關鍵在於知道x，y遞歸關係的推導過程

更相減損法：
基本思路：
第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等爲止。
則第一步中約掉的若干個2的積與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
其中所說的“等數”，就是公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。

def gys2(a,b):    #更相減損法
    while a!=b:
        if a<b:
            a,b=b,a
        temp=a-b
        a=temp
    return a

原文鏈接：https://blog.csdn.net/qq_31798427/article/details/55798805