題目
傳送門 to XJOI(需要登錄)
題意概要
有一個未知的數字 。 被 切割成了 段,具體來說,第 段爲 ,認爲 。你時刻可以知道 位於哪一段。現在請問,如果 取遍 ,讓 一定位於第一段,最小代價之和?
操作有 種可選。第 種:花費 ,讓 減小 。
如果不能使 一定位於第一段,輸出 即可。
數據範圍與提示
且 嚴格遞增。 。
思路
動態規劃。用 表示,已知 , 取遍 的最小代價和。注意:並非“最小代價”之和,而是最小“代價和”。
轉移是很簡單的。如果 使得 ,那麼 ;否則,枚舉一個操作, 。
爲什麼一定是最小“代價和”呢?因爲你並不知道 究竟是誰,所以你得讓 平均值 最小,即“代價和”最小。平均值越小,期望就越小,因爲 是等概率的落到 內的。
現在我們有了一個 的算法,可以通過 。
考慮優化。狀態數太多——有的狀態很沒用。我們進行操作的目的是獲得更多信息,所以我們要儘量讓新區間包含不同的段,就可以進一步區分。
完全揹包 求出轉移,我們規定轉移之後的 必須包含不同的段,或者全部在第一段。此時,有用的狀態只可能是某個段的前綴、後綴,所以總狀態數是 的。
然後就做完了。複雜度 。
代碼
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint() {
int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
if(c == '-') f = -f;
for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
return a*f;
}
void writeint(int_ x){
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x > 9) writeint(x/10);
putchar((x%10)^48);
}
# define MB template < typename T >
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(b < a) a = b; }
# define FOR(i,n) for(int i=0; i<(n); ++i)
const int_ infty = (1ll<<60)-1;
const int MaxN = 2005;
int a[MaxN], n, m;
int_ dp[MaxN][MaxN], v[MaxN];
int deep;
int_ work(int l,int r,int k){
if(r <= a[1]) return 0;
if(l <= a[k]){ // 已經確保 a[k] < r
int_ tmp = work(l,a[k],k-1);
tmp += work(a[k]+1,r,k);
return min(infty,tmp); // 確保不超過infty
}
if(dp[l][r] != -1) return dp[l][r];
int_ &d = dp[l][r] = infty;
for(int i=1; i<l; ++i){
if(r-i == a[k]) -- k;
if(k and a[k] < l-i) continue; // 沒切開
getMin(d,work(l-i,r-i,k)+(r-l+1)*v[i]);
}
return d;
}
int main(){
for(int T=readint(); T; --T){
n = readint(), m = readint();
for(int i=1; i<=n; ++i)
a[i] = readint();
for(int j=1; j<=a[n]; ++j)
v[j] = infty;
for(int i=1; i<=m; ++i){
int val = readint(), w = readint();
for(int j=w; j<=a[n]; ++j)
getMin(v[j],v[j-w]+val);
}
for(int i=1; i<=n; ++i){
for(int j=a[i-1]+1; j<=a[i]; ++j)
dp[j][a[i]] = -1;
for(int j=a[i]+1; j<=a[i+1]; ++j)
dp[a[i]+1][j] = -1;
}
int_ ans = 0;
for(int i=1; i<=n and ans<infty; ++i){
int_ tmp = work(a[i-1]+1,a[i],i-1);
if(tmp >= infty) ans = infty;
else ans += tmp;
}
if(ans >= infty)
putchar('-'), putchar('1');
else writeint(ans); putchar('\n');
}
return 0;
}