功率信號，能量信號，信號的頻譜，功率譜密度，頻譜密度，能量譜密度，自相關函數，互相關函數

總述

一、區分信號類型

根據式$E=\int_{-\infty }^{\infty }{{{s}^{2}}\left( t \right)}dt$計算信號能量（作用在單位電阻上的電壓信號 釋放的能量）可以將信號分爲：

• 功率信號：能量無限，不能用能量表示，所以用平均功率表示；
• 能量信號：能量有限，平均功率爲0；

二、功率信號的分析

1. 頻譜（離散）：$C\left( n{{f}_{0}} \right)=\frac{1}{{{T}_{0}}}\int_{-T/2}^{T/2}{s\left( t \right){{e}^{-j2\pi n{{f}_{0}}t}}dt}$（單位：V）
   含義：
   週期功率信號幅值（頻率爲${{f}_{0}}$ ）經過傅里葉級數展開，被多個離散倍頻$n{{f}_{0}}$表徵，各頻點的幅值$C\left( n{{f}_{0}} \right)$也即該頻點的貢獻權係數。
   參考網上一張經典的解釋圖：
   
2. 功率譜密度（連續）：$P\left( f \right)={{\sum{\left| C\left( f \right) \right|}}^{2}}\delta \left( f-n{{f}_{0}} \right),C\left( f \right)=\left\{ \begin{matrix} C\left( n{{f}_{0}} \right),f=n{{f}_{0}} \\ 0, \\ \end{matrix} \right.$
   含義：

• 將信號的功率按照頻點貢獻鋪在頻譜之上；
• 因其能量是無窮的，所以不能把能量鋪上去，只能用有限的功率；
• 對功率譜密度進行積分，能得到局部頻段承載的功率；
• 相比功率信號的頻譜突出各頻點對功率信號的信號幅值的貢獻，功率譜密度突出各頻點對功率信號的功率的貢獻。

三、能量信號的分析

1. 頻譜密度（連續）：$S\left( f \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{s\left( t \right){{e}^{-j2\pi ft}}dt}$（單位：V/Hz）
   含義：

• 通過傅里葉變換將能量信號轉換到連續頻域上；
• 但因能量有限，不能使用離散貢獻頻點權係數（幾乎爲0），只能使用頻譜密度來表徵。

2. 能量譜密度：$G\left( f \right)={{\left| S\left( f \right) \right|}^{2}}$（單位：J/Hz）
   含義：

• 將信號能量鋪在頻譜之上；
• 對能量譜密度進行局部積分，能得到局部頻段承載的能量；
• 相比能量信號的頻譜密度突出連續頻點對功率信號的信號幅值的貢獻，能量譜密度突出連續頻點對能量信號的能量的貢獻。

四、相關函數

1. 自相關函數 ：$R\left( \tau \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{s\left( t \right)s\left( t+\tau \right)}dt$
   含義：表徵信號自己與自己的相似關係，根據公式也能看出，原信號不變，拿着一個複製信號先進行時移再乘積積分（卷積操作），就是在求信號內時間維的相似性，$\tau =0$ 時肯定最相似，週期信號肯定有很多相似點（自相關函數峯值）。
   特點：
   
2. 互相關函數：${{R}_{1,2}}\left( \tau \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{{{s}_{1}}\left( t \right){{s}_{2}}\left( t+\tau \right)}dt$
   含義：表徵兩信號的相似關係
   特點也同上表

注：上文具體公式推導見樊昌信的《通信原理》第六版P17-33