程序設計思維與實踐 Week3 作業 (3/4/數據班)

A - 選數問題

題意

給定$n$個數，從中選取$k$個，另總和爲$s$，共$T$組數據。其中$k \le n \le 16$，$T \le 100$。

input

1
10 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

output

4

思路

樸素的$dfs$即可。雖然數據規模很小，但還是可以剪枝去掉一些情況。

• 超過$k$個數去掉
• 總數超過$s$去掉

最壞複雜度$O (n!)$

總結

簽到題

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <functional>
#define LL long long
using namespace std;
int v[20];
int n, k, s, ans;
void dfs(int x, int sum, int cnt) {
    // cout << "dfs: " << x << " " << sum << " " << cnt << endl;
    if (sum > s || cnt > k) return;
    if (cnt == k) {
        if (sum == s) {
            // cout << x << " " << sum << " " << k << endl;
            ans++;
        }
        return;
    }

    for (int i = x; i <= n; i++) {
        dfs(i + 1, sum + v[i], cnt + 1);
    }
}
int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T) {
        T--;
        cin >> n >> k >> s;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> v[i];
        }
        ans = 0;
        dfs(1, 0, 0);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

B - 區間選點

題意

數軸上有 $n$ 個閉區間 $[a_i, b_i]$。取儘量少的點，使得每個區間內都至少有一個點（不同區間內含的點可以是同一個）。其中，$(N<=100)$，$(a,b<=100)$

input

3
1 3
2 5
4 6

output

3
1 3
2 5
4 6

思路

以線段右端點$b$爲序，從小到大排序。如果當前線段沒被覆蓋過。則將用頂點將該線段覆蓋，同時標記其他左端點$a_j$在該線段$b_j$的線段爲覆蓋。

複雜度是$O(n^2)$，因爲每個線段只會被選擇一次。

正確性證明

由於以右端點$b$爲序，對第$i$條線段。若改線段未被覆蓋。那麼將點防止在$b_i$處一定最優。因爲對於任意其它線段，線段的左端點$a_j$一定要麼在$b_i$的左邊，要麼在$ b_i$的右邊。

• 若在$ b_j$左邊，放在$b_i$處顯然可以覆蓋更多線段
• 若在$b_j$右邊，放在那裏都不會影響該線段。

---

假設當前有一個點沒有放在線段右頂點處，考慮將點重新放置於有頂點處不會使結果更差。

總結

一道入門貪心題，可用交換論證證明，即我的決策不會令答案更差

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
struct re {
    int a, b;
    bool operator<(const re& a) const { return b < a.b; }
} v[110];
int vis[110];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i].a >> v[i].b;
    }
    sort(v + 1, v + 1 + n);
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!vis[i]) {
            ans++;
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                if (v[j].a <= v[i].b) {
                    vis[j] = 1;
                }
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

C - 區間覆蓋

題意

數軸上有 $n$ ,$(1\le n \le 25000)$個閉區間$ [ai, bi]$，選擇儘量少的區間覆蓋一條指定線段 $[1, t]$$( 1 \le t \le 1,000,000)$。
覆蓋整點，即$(1,2)+(3,4)$可以覆蓋$(1,4)$。
不可能辦到輸出$-1$

input

3 10
1 7
3 6
6 10

output

2

思路

講區間以左端點$a$爲序，從小到大排序。對於一段未被覆蓋的區間$[h,t]$嗎，選取$h$前的超過$h$最多的線段，設選擇線段爲$[a_k,b_k]$（假設$b_k < t$ ，若$b_k \ge t$ 則覆蓋完成得到答案）。仍未被覆蓋的區間變爲$[b_k+1,t]$，重複上述過程，直到$b_k \ge t$，若掃描完所有線段仍未覆蓋完所有區間，則輸出$-1$。

複雜度爲$O( n )$

小技巧

上述過程的複雜度可以達到爲$O( n )$，方法是排序後。標記一個flag爲仍未被覆蓋的線段的首屆點$h$，順序掃描數組，對尾節點取$max$，知道線段首屆點$a$超過$h$。（因爲我們並不關心選取的具體是哪一條線段）。

for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (v[i].a > T || tail >= T) {
        break;
    }
    if (v[i].a <= flag) {
        tail = max(tail, v[i].b);
    } else {
        ans++;
        flag = tail + 1;  // 這裏注意
        if (v[i].a > flag) {
            tail = 0;
            break;
        } else {
            tail = max(tail, v[i].b);
        }
    }
}

總結

這道題吃了超多發WA，錯誤的願意是選擇區間$[a_k,b_k]$後，未覆蓋的區間應該變爲$[b_k+1,t]$，而不是$[b_k-1,t]$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
struct re {
    int a, b;
    bool operator<(const re& a) const { return this->a < a.a; }
};
vector<re> v;
int main() {
    int n, T;
    while (~scanf("%d%d", &n, &T)) {
        v.clear();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            re temp;
            scanf("%d%d", &temp.a, &temp.b);
            v.push_back(temp);
        }
        sort(v.begin(), v.end());
        int flag = 1, tail = 0, ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (v[i].a > T || tail >= T) {
                break;
            }
            if (v[i].a <= flag) {
                tail = max(tail, v[i].b);
            } else {
                ans++;
                flag = tail + 1;  // 這裏注意
                if (v[i].a > flag) {
                    tail = 0;
                    break;
                } else {
                    tail = max(tail, v[i].b);
                }
            }
        }
        ans++;
        if (tail < T)
            printf("%d\n", -1);
        else
            printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}