單標籤二分類算法

單標籤二分類這種問題是我們最常見的算法問題，主要是指label標籤的取值只有兩種，並且算法中只有一個需要預測的label標籤。直白來講就是每個實例的可能類別只有兩種（A or B）。此時的分類算法其實是在構建一個分類線將數據劃分爲兩個類別。常見的算法有：Logistic、SVM、KNN等。

$y=f(x),\ \ \ \ \ y\in\{-1, +1\}$

Logistic算法

$\begin{aligned}sigmoid&=h_{\theta}(x) \\&=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}} \\J(\theta)&=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^my^{(i)}\log h_{\theta}(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))], \ \ \ \ \ y^{(i)}\in\{0, 1\}\end{aligned}$

單標籤多分類算法

單標籤多分類問題其實是指待預測的label標籤只有一個，但是label標籤的取值可能有多種情況。直白來講就是每個實例的可能類別有K種 $(t_1, t_2, \dots, t_k ,k\ge3)$ 。常見算法：Softmax、KNN等。

$\begin{aligned}y&=f(x),\ \ \ \ \ \ y\in\{t_1, t_2, \dots, t_k\} \\D&=\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\} \\y_i&=j, \ \ \ \ i=1, 2, \dots, n \ \ \ \ j=1, 2, \dots, k\end{aligned}$

Softmax算法

$\begin{aligned}p(y=k|x;\theta)&=\frac{e^{\theta_k^Tx}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx}}, \ \ \ \ \ k=1, 2, \dots, K \\h_{\theta}(x)&=\begin{bmatrix}p(y^{(i)}=1|x^{(i)};\theta) \\p(y^{(i)}=2|x^{(i)};\theta) \\\dots \\p(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta)\end{bmatrix} \\&=\frac{1}{\sum_{j=1}^ke^{\theta_j^Tx^{(i)}}}\cdot\begin{bmatrix}e^{\theta_1^Tx} \\e^{\theta_2^Tx} \\\dots \\e^{\theta_k^Tx}\end{bmatrix} \\\Longrightarrow \theta&=\begin{bmatrix}\theta_{11} & \theta_{12} & \cdots & \theta_{1n} \\\theta_{21} & \theta_{22} & \cdots & \theta_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\theta_{k1} & \theta_{k2} & \cdots & \theta_{kn}\end{bmatrix} \\J(\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^kI(y^{(i)}=j)\log(\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx}}) \\I(y^{(i)}=j)&=\begin{cases}1, &y^{(i)}=j \\0, &y^{(i)}\ne j\end{cases}\end{aligned}$

在實際的工作中，如果是一個多分類的問題，我們可以將這個待求解的問題轉換爲二分類算法的延伸，即將多分類任務拆分爲若干個二分類任務求解，具體的策略如下：

One-Versus-One(ovo)：一對一
One-Versus-All / One-Versus-the-Rest(ova/ovr)：一對多
Error Correcting Output codes(糾錯碼機制)：多對多

One-Versus-One（ovo）：一對一

將K個類別中的兩兩類別數據進行組合，然後使用組合後的數據訓練出來一個模型，從而產生K(K-1)/2個分類器，將這些分類器的結果進行融合，並將分類器的預測結果使用多數投票的方式輸出最終的預測結果值。

One-Versus-All / One-Versus-the-Rest（ova/ovr）：一對多

在一對多模型訓練中，不是兩兩類別的組合，而是將每一個類別作爲正例，其它剩餘的樣例作爲反例分別來訓練K個模型。然後在預測的時候，如果在這K個模型中，只有一個模型輸出爲正例，那麼最終的預測結果就是屬於該分類器的這個類別。如果產生多個正例，那麼則可以選擇根據分類器的置信度作爲指標，來選擇置信度最大的分類器作爲最終結果，常見置信度：精確度、召回率。

ovo和ovr的區別

Error Correcting Output codes（糾錯碼機制）：多對多

將模型構建應用分爲兩個階段：編碼階段和解碼階段。編碼階段中對K個類別中進行M次劃分，每次劃分將一部分數據分爲正類，一部分數據分爲反類，每次劃分都構建出來一個模型，模型的結果是在空間中對於每個類別都定義了一個點。解碼階段中使用訓練出來的模型對測試樣例進行預測，將預測樣本對應的點和類別之間的點求距離，選擇距離最近的類別作爲最終的預測類別。

多標籤多分類算法

Multi-Label Machine Learning（MLL算法）是指預測模型中存在多個y值，具體分爲兩類不同情況：

多個待預測的y值
在分類模型中，一個樣例可能存在多個不固定的類別

根據多標籤業務問題的複雜性，可以將問題分爲兩大類：

待預測值之間存在相互的依賴關係
待預測值之間是不存在依賴關係的

對於這類問題的解決方案可以分爲兩大類：

轉換策略（Problem Transformation Methods）
算法適應（Algorithm Adaptation）

Problem Transformation Methods

該方法又叫做策略轉換或者問題轉換，是一種將多標籤的分類問題轉換成爲單標籤模型構造的問題，然後將模型合併的一種方法，主要有以下幾種方式：

Binary Relevance（first-order）
Classifier Chains（high-order）
Calibrated Label Ranking（second-order）

Binary Relevance

Binary Relevance的核心思想是將多標籤分類問題進行分解，將其轉換爲q個二元分類問題，其中每個二元分類器對應一個待預測的標籤。

Binary Relevance方式的優點如下：

實現方式簡單，容易理解
當y值之間不存在相關的依賴關係的時候，模型的效果不錯

Binary Relevance方式的缺點如下：

如果y之間存在相互的依賴關係，那麼最終構建的模型的泛化能力比較弱
需要構建q個二分類器，q爲待預測的y值數量，當q比較大的時候，需要構建的模型會比較多

Classifier Chains

Classifier Chains的核心思想是將多標籤分類問題進行分解，將其轉換成爲一個二元分類器鏈的形式，其中後鏈的二元分類器的構建是在前面分類器預測結果的基礎上的。在模型構建的時候，首先將標籤順序進行shuffle打亂排序操作，然後按照從頭到尾分別構建每個標籤對應的模型。

Classifier Chains方法的優點如下：

實現方式相對比較簡單，容易理解
考慮標籤之間的依賴關係，最終模型的泛化能力相對於Binary Relevance方式構建的模型效果要好

缺點如下：

很難找到一個比較適合的標籤依賴關係

Calibrated Label Ranking

Calibrated Label Ranking的核心思想是將多標籤分類問題進行分解，將其轉換爲標籤的排序問題，最終的標籤就是排序後最大的幾個標籤值。

Calibrated Label Ranking 方法的優點如下：

考慮了標籤兩兩組合的情況，最終的模型相對來講泛化能力比較好

Calibrated Label Ranking 方法的缺點如下：

只考慮兩兩標籤的組合，沒有考慮到標籤與標籤之間的所有依賴關係

Algorithm Adaptation

Algorithm Adaptation又叫做算法適應性策略，是一種將現有的單標籤的算法直接應用到多標籤上的一種方式，主要有以下幾種方式：

ML-kNN
ML-DT

ML-kNN

ML-kNN的思想：對於每一個實例來講，先獲取距離它最近的k個實例，然後使用這些實例的標籤集合，通過最大後驗概率（MAP）來判斷這個實例的預測標籤集合的值。

最大後驗概率（MAP）：其實就是在最大似然估計（MLE）中加入了這個要估計量的先驗概率分佈。

$\begin{aligned}\hat{\theta}_{MLE}(x)&=\arg\max_{\theta}f(x|\theta) \\\hat{\theta}_{MAP}(x)&=\arg\max_{\theta}\frac{f(x|\theta)g(\theta)}{\int_{\theta}f(x|\theta')g(\theta')d\theta'} \\&=\arg\max_{\theta}f(x|\theta)g(\theta)\end{aligned}$

ML-DT

ML-DT是使用決策樹處理多標籤內容，核心在於給予更細粒度的信息熵增益準則來構建這個決策樹模型。
$\begin{aligned}entry&=\sum_{j=1}^q[-p_j\log p_j-(1-p_j)\log(1-p_j)] \\p_j&=\frac{\sum_{i=1}^n||y_j\in Y_i||}{n}\end{aligned}$

多標籤多分類在Scikit-learn中的實現方式

在Scikit-learn中使用OneVsRestClassifier對多標籤進行分類操作，內部其實是將多標籤問題轉換爲多類別的區分問題。

機器學習之單標籤多分類及多標籤多分類

單標籤二分類算法

Logistic算法

單標籤多分類算法

Softmax算法

One-Versus-One（ovo）：一對一