微積分——不講微分的微積分；想要更豐富的體驗，請聯繫博主

開始學微積分，我感到非常無語

---

積分

定積分

$\sum\to\int\\ \Delta\to\mathrm{d}$

足夠無語的了…

一切都是因爲$\lim_{\Delta x\to 0}$

更無語的來了
$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=f(x)\\ \Rightarrow f(x)\cdot \mathrm{d}x=\mathrm{d}F$
他就移了個項…

上面的式子是斜率表達；下面的式子是面積表達

然後積起來
$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$
然後…然後這就叫牛頓-萊布尼茲公式…

我覺得我的三觀都被摧毀了

這個故事告訴我們，如果你做事情嚴謹，你就能名垂千古…（該公式是$\lim_{\Delta x\to 0}(\sum_a^bf\Delta x)=F(b)-F(a)$的嚴謹寫法）

還不去仔細計算！

---

不定積分

很明顯我們在定積分那一塊幹了一件事：好像得到了$f(x)$的原函數。我們用這一點來求那塊“面積”

然後不定積分就是在求原函數，赤裸裸的原函數
$\int f(x)\mathrm{d}x=F$
$F$是一個抽象的符號，代表原函數（聽過杜老師講數學的我覺得這都不是事）

不定積分和導數互爲逆運算

爲什麼要使用$F$這個抽象符號?

因爲常數可以任意加，用$C$表示（所以你知道爲什麼我上面要說赤裸裸的原函數了吧）

那爲什麼上面定積分你沒有寫這個$C$呢？

因爲定積分是個相對量，常數被減掉了

然後我們就有了一大堆不定積分公式：
$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad (n\neq -1)\\\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\\\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\\\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\\\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$
還是注意一個問題：定義域優先

你是不是覺得這些都很無厘頭？弱智？牛頓和萊布尼茲都在爭這些有的沒的的？

那是因爲你還沒有玩過一大坨函數的積分
$\dot y=[\sin^2(x^2+1)]'\\=2\sin(x^2+1)\cos(x^2+1)2x$

$y=\int \dot y\mathrm{d}x\\=\int 2\sin(x^2+1)\cos(x^2+1)\cdot2x\mathrm{d}x\\=\int 2\sin(x^2+1)\cos(x^2+1)\mathrm{d}(x^2+C)\qquad\boxed{令C=1}\\=\int 2\sin(x^2+1)\cdot\cos(x^2+1)\mathrm{d}(x^2+1)\\=\int 2\cdot\sin(x^2+1)\mathrm{d}(\sin(x^2+1)+C)\qquad\boxed{令C=0}\\=\int 2\cdot\sin(x^2+1)\mathrm{d}(\sin(x^2+1))\\=\sin^2(x^2+1)+C\\$

注意，求定積分寫計算格式的時候先不定積分，然後代值：
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲&\quad\int_a^b(…

換元法 ⭐️⭐️整體思想

$\quad\int \sin(kx+\varphi)\mathrm{d}x\\=\boxed{\frac{1}{k}}\int \sin(kx+\varphi)\mathrm{d}(\boxed{k}x)\\=\frac{1}{k}\int \sin(kx+\varphi)\mathrm{d}(kx+\boxed{\varphi})\\=-\frac{1}{k}\cos(kx+\varphi)+C$

$k$爲常數，有

$\mathrm{d}x=\mathrm{d}(x+k)$

$\mathrm{d}x=\frac{1}{k}\mathrm{d}(kx)$

微分

微分方程

導數與積分之間建立方程，移個項，積個分，其實就差不多了

注意積分的時候等式兩邊範圍一致，對應

有意思的題
$\int\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=\int\sin\theta\mathrm{d}\cos\theta\\=-\int\sin^2\theta\mathrm{d}\theta$

$\mathrm{d}\cos x=\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x}\cdot\mathrm{d}x$

這就是微分，多有意思！

想要更豐富的體驗，聯繫作者我將給出你更完美的內容（整理版）