『藍橋杯』2017省賽 包子湊數——數學篩法 DP

『題目描述』

問題描述

　　小明幾乎每天早晨都會在一家包子鋪喫早餐。他發現這家包子鋪有N種蒸籠，其中第i種蒸籠恰好能放Ai個包子。每種蒸籠都有非常多籠，可以認爲是無限籠。
　　每當有顧客想買X個包子，賣包子的大叔就會迅速選出若干籠包子來，使得這若干籠中恰好一共有X個包子。比如一共有3種蒸籠，分別能放3、4和5個包子。當顧客想買11個包子時，大叔就會選2籠3個的再加1籠5個的（也可能選出1籠3個的再加2籠4個的）。
　　當然有時包子大叔無論如何也湊不出顧客想買的數量。比如一共有3種蒸籠，分別能放4、5和6個包子。而顧客想買7個包子時，大叔就湊不出來了。
　　小明想知道一共有多少種數目是包子大叔湊不出來的。

輸入格式

　　第一行包含一個整數N。(1 <= N <= 100)
　　以下N行每行包含一個整數Ai。(1 <= Ai <= 100)

輸出格式

　　一個整數代表答案。如果湊不出的數目有無限多個，輸出INF。

樣例輸入

2
4
5

樣例輸出

6

樣例輸入

2
4
6

樣例輸出

INF

樣例說明

　　對於樣例1，湊不出的數目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
　　對於樣例2，所有奇數都湊不出來，所以有無限多個。

『解題思路』

1. 首先解決無窮情況，如果是無窮那麼就是隻有一部分數的倍數覆蓋到了，還有一些沒有覆蓋，所以如果 $g= gcd\{a[i]\},i=1,2,3...$不是 $1$ ，那麼這些數就只覆蓋了所有 $g$ 的倍數，就一定有某個數的倍數是覆蓋不到的。
2. 使用類似於線性篩法的思路來把所有可以組合成的數篩掉，篩數首先要設置一個上限，要用到一個結論：對於互質的兩個數p，q，px+py 不能表示的最大數爲p*q-p-q.（證明鏈接）p、q的最大值都是100，那麼上限可以確定爲1e4
3. 考慮篩法的設置：如果一個數 $x$ 是可以被組合成的，那麼$x-a[i]$必定也是可以組合成的，用一個dp的思想，就可把所有的數篩出來，其初始情況應該是 0，（可以認爲是用0個$a[i]$組成的）。許多人是用完全揹包來寫的，但此題中完全揹包的中心思想就是道理。

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*author:ccf
*source:POJ-
*topic:
*******************************/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 107,LIM = 1e4;
int n,m,cas;
int a[N];
bool bk[N*N];
ll gcd(ll a,ll b){
	return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int main(){
	//freopen("data.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",a+i);
	int g = a[1];
	for(int i  =2; i <= n; ++i) g = gcd(a[i],g);
	if(g != 1){
		printf("INF\n");
		return 0;
	}
	bk[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		for(int j = a[i]; j < LIM; j++){
			bk[j] = max(bk[j],bk[j-a[i]]);
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i < LIM; ++i) 
		if(!bk[i]) ans++;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}