區間DP淺析

區間dp

區間dp就是在區間上進行動態規劃，求解一段區間上的最優解。主要是通過合併小區間的 最優解進而得出整個大區間上最優解的dp算法。

解決思路

讓我求解在一個區間上的最優解，那麼我把這個區間分割成一個個小區間，求解每個小區間的最優解，再合併小區間得到大區間即可。所以在代碼實現上，我可以枚舉區間長度len爲每次分割成的小區間長度（由短到長不斷合併），內層枚舉該長度下可以的起點，自然終點也就明瞭了。然後在這個起點終點之間枚舉分割點，求解這段小區間在某個分割點下的最優解。

代碼模板

for(int len = 1;len<=n;len++){//枚舉長度
        for(int j = 1;j+len<=n+1;j++){//枚舉起點，ends<=n
            int ends = j+len - 1;
            for(int i = j;i<ends;i++){//枚舉分割點，更新小區間最優解
                dp[j][ends] = min(dp[j][ends],dp[j][i]+dp[i+1][ends]+something);
            }
        }
}

例子

N堆石子擺成一條線。現要將石子有次序地合併成一堆。規定每次只能選相鄰的2堆石子合併成新的一堆，並將新的一堆石子數記爲該次合併的代價。計算將N堆石子合併成一堆的最小代價。

例如： 1 2 3 4，有不少合併方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

括號裏面爲總代價可以看出，第一種方法的代價最低，現在給出n堆石子的數量，計算最小合併代價。

/**
    * @Description
    * @Author  xujz
    * @Date   2020/4/10 15:32
    * @Param  n代表n個石堆
    * @Return      void
    * @Exception
    *
    */
    public static void great(int n) {
        int[] stone = new int[n + 1];
        int[] sum = new int[n + 1];
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int w = scanner.nextInt();
            stone[i] = w;
            sum[i] = sum[i - 1] + w;
            dp[i][i] = 0;
        }
        /*先算出長度爲1的，
        */
        for (int len = 1; len <= n; len++) {
            for (int j = 1; j + len <= n + 1; j++) {
                // j代表下標
                int end = j + len - 1;
                {
                    if (j != end) {
                        dp[j][end] = Integer.MAX_VALUE;
                    }
                    for (int i = j; i < end; i++) {
                        // i代表區間被分割的下標
                        dp[j][end] = Math.min(dp[j][end], dp[j][i] + dp[i + 1][end] + sum[end] - sum[j - 1]);
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[1][4]);
	}