2020.03.22日常總結

$\color{green}{\text{洛谷P1395\ \ \ \ \ 會議}}$

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$\color{blue}{\text{【題意】：}}$

• 給定一棵無根樹，定義 $u$ 到 $v$ 的距離爲簡單路徑 $(u,v)$ 上的邊的數量。我們把它記爲 $T_{u,v}$。
• 定義以 $u$ 爲該無根樹時的花費爲 $\sum\limits_{i=1}^{n} T_{u,i}$。即所有點到根 $u$ 的距離和。我們把它記爲 $G_u$。
• 求一個點 $u$，使得 $G_u$ 最小。輸出 $u$ 和 $G_u$。如有多解，則輸出最小的 $u$。
• 對於 $100 \%$ 的數據，$1\leq n \leq 5 \times 10^4$。

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$\color{blue}{\text{【思路】：}}$

對於無根樹類的題目，我們可以先指定一個點當作根。然後再考慮。

具體地，我們先求出以 $1$ 爲根時以每個點 $u$ 爲根的子樹的大小 $f_u$ 及 $G_1$。

考慮根從點 $u$ 轉移到它的一個兒子 $v$ 時總花費的變化量。可以發現，有等量關係 $G_v=G_u - f_v + (n - f_v)$。

什麼意思？即 $v$ 的所有兒子到根的距離都減少了 $1$，但是所有不是 $v$ 的兒子到根的距離都增加了 $1$。我們可以根據這個來算出所有的 $G$。可以配圖理解 （圖醜請原諒）。

總的時間複雜度爲 $O(n)$。可以通過更大的數據（比如 $1 \times 10^6$）。

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$\color{blue}{\text{【代碼】：}}$