參考資料：中國大學MOOC 山東大學 秦靜教授講解
目錄
一、向量及其線性運算
向量組的等價：能相互線性表示。
二、向量組的線性相關
證明（3）：
a1向量爲0向量，a2、a3、an非零向量。
2 a1 + 0 a2 +0 a3 +0 an =0，係數不全爲0，所以任一含有零向量的向量組線性相關。
三、線性相關的判定定理
存在不全爲0的數，-1,所以上述推出了線性相關。
定理2很常用：
本來向量組是線性無關的，但是添加了一個向量，使得這個新的向量組線性相關，向量B可以由之前的向量表示且唯一。
上述說明：
部分相關，則全部相關
全部不相關，則部分不相關。
上面的定理很重要，稍後再給出證明。
推論2證明：
R(A) <= min{m,n} ,由於m>n,所以R(A) <= n
所以R(A) <=n <m,
由於R(A) <m,所以線性相關。
五個定理、五個推論，這十個結論以後會經常用。
四、線性相關判定定理4和5的證明
上面*(-1)k(m-1)，全部加到最後一行。
例如a(m1)這一列，a(11)(-k(1)) +a(21)(-k(2)) +…+a(m-1)*(-k(m-1))，全部加到最後一行時，a(m1)結果爲0.
上面的證明是有難度的。
五、向量組的極大無關組與秩的定義
由於a可以由b線性表示，所以a1~ar,可以化爲0。（可以參考線性相關判定定理的證明）
推論一：
反證法：
假設向量組a1 a2 ar線性無關，則r<=s，與r>s是矛盾的。
推論二：
因爲a1…ar和向量組b1…br等價，所以a可以由b線性表示，b可以由a線性表示，又由於a1…ar線性無關，所以r<=s。由於b1…bs是線性無關，由推論二：s<=r,所以只能是r=s.
定理2：
因爲一個向量組中的所有極大無關組是等價的，所以由推論二，可以得出定理2.
上述(1)解釋：
因爲線性無關的向量組的極大無關組就是它本身，所以線性無關組的向量組的秩=向量的個數。
定理2證明：
向量組A： a1…am
向量組B： b1 …bs
設向量組A的極大無關組 ：a1…ar
設向量組B的極大無關組： b1…bt
所以向量組A的秩是r，B的秩是t，其實也就是證明r<=t。
a1…ar是A的極大無關組，所以可以由向量組a1…am線性表示(因爲向量組與它的極大無關組是等價的)，而a1…am可以由b1…bs線性表示，而b1…bs可以由b1…bt表示（因爲向量組與它的極大無關組等價，所以可以相互表示），可以推出a1…ar可以由b1…bt線性表示，所以r<=t。
等價的向量組有相同的秩：
由定理二：a1…sm可以由b1…bs線性表示，向量組A的秩<=向量組B的秩。
現在兩個向量組等價，則b1…bs 可以由a1…am線性表示，向量組B的值<=向量組A的秩，所以只能是取等號。
例題二：
上面兩個向量組等價，因爲a1…an可以由e1…en表示，等價能推出等秩，a1…an線性無關，題目中漏掉了這個說明，所以秩爲n。
例題三：
r(k)=s 說明滿秩，滿秩說明可逆，可逆說明a1…as也可以由b1…bs表示，由因爲b1…bs可以由a1…as表示，所以等價。等價推出等秩，所以b1…bs的秩也爲s，秩等於向量個數，所以線性無關。
六、向量組的極大無關組與秩的求法
上述定理相當於矩陣做了一下轉置，而轉置不改變矩陣的秩。
上述先寫出了A與C的列向量組。利用了C可以由B線性表示，C可以由A線性表示。
因爲已經證明了R(AB)<=R(A),即乘積的秩<=左因子的秩，所以第二個小點的證明可以用這個特性來做：
上面最後一行使用了第一小點證明的結論來做的。
上述只需證明B的值等於n即可
n=r(e)=r(ab) <=min{ra,rb}<=rb => n<=rb
rb <=n,因爲rb的最大列是n。
所以rb=n。
七、向量空間
現在只看第一個：
上面兩個向量的加法和數乘的結果還是實數R，所以它是封閉的，是向量空間。
其實，拿集合中的兩個向量，相加或者相乘的結果如果還在集合中，就是向量空間，最後一個顯然不是，1+1=2,不在集合中了.
上述證明：
A中的任一元素都可以由B中的元素線性表示，所以A中包含了所有的B中的元素，同理B包含所有A的元素。
求基和維數，其實就是類似求極大無關組和秩。
因爲基是線性無關的，所以是滿秩的，所以是可逆的。
八、向量的正交性
注意：正交向量組中沒有零向量
第二題：
所有的行都是單位向量：
再看列：
第一列和第二列內積爲0，正交，同理1，3正交，2，3正交。
所以是正交矩陣。
如果一個矩陣是正交矩陣，那麼這個矩陣的逆，就是這個矩陣的轉置矩陣。
九、向量組習題課
中間的這個矩陣一定是方陣，首先B可以由A線性表示，所以，矩陣的行數是相同的，都爲s,又因爲B的行數爲s行，所以根據矩陣乘法，中間這個矩陣必須也是s行。
