【題目】
已知計算f(n)=
的C語言函數f1如下：
int f1(unsigned n){
int sum=1,power;
for(unsigned i=0;i<n-1;i++){
power *=2;
sum += power;
}
return sum;
}
將f1中的int都改成float，可得到計算f(n)的另一個函數f2。假設unsigned和int型數據都佔32位，float採用IEEE754單精度標準。
1.當n=0時，f1會出現死循環，爲什麼？若將f1中的變量i和n都定義爲int型，則f1是否還會出現死循環？爲什麼？
【解析】由於i和n是unsigned型，因此“i<=n-1”是無符號數比較，n=0時，n-1的機器數爲全1，值爲2^32 -1，爲unsigned型可表示的最大數，條件“i<=n-1”永真，因此出現死循環。若i和n改爲int類型，則不會出現死循環。因爲“i<=n-1”是有符號整數比較，n-1此時爲-1，i<=n-1不成立就退出for循環。
2.f1(23)和f2(23)的返回值是否相等？機器數各是什麼？（用十六進制表示）
PS:返回值是根據二進制串(機器數)的解釋。
【解析】返回值相同。因爲f(23)=2^（23+1） -1=2^24 -1，其二進制形式爲24個1，即機器數爲00FF FFFFH，int佔32位所以沒有溢出。float有1個符號位，8個指數位，23個底數位，並且隱含一位，所以23個底數位可以表示24位的底數。求f2(23)機器數：因爲符號位爲0，指數位爲23+127=149的二進制爲1001 0110，底數位爲23個1即111 1111 1111 1111 1111 1111，所以f2(23)的機器數爲0100 1011 0111 ...(20個1)，十六進制表示爲4B7F FFFFH。
3.f1(24)和f2(24)的返回值分別爲33 554 431和33 553 432.0，爲什麼不相等？
【解析】當n=24時，f(24)=1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 B，而float型數只有24位有效位，舍入後數值增大（答這個即可），所以f2(24)比f1(24)大。 下圖所示：末尾的1捨去，末尾進1，然後前面的一坨1變爲0，再一次右移，此時階碼+1。（0舍1入）
4.f(31)=2^32 -1，而f1(31)的返回值卻爲-1，爲什麼？若使f1(n)的返回值與f(n)相等，則最大的n是多少？
【解析】f(31)已超出了int型數據的表示範圍，用f1(31)實現時得到的機器數爲32個1，作爲int型數解釋時其值爲-1，即f1(31)的返回值爲-1。因爲int型最大可表示的數是0後面加31個1，因此使f1(n)的返回值與f(n)相等的最大n值爲30。
5.f2(127)的機器數爲7F80 0000H，對應的值是什麼？若使f2(n)的結果不溢出，則最大的n是多少？若使f2(n)的結果精確（無舍入），則最大的n是多少？
【解析】IEEE754用“階碼全1，尾數全0”表示無窮大。f2的返回值爲float型，機器數7F80 0000H對應的值是正無窮。當n=126時，f(126)=2^127 -1=1.11...1×2^126，對應的階碼爲126+127=253，尾數部分舍入後階碼加1，最終階碼爲254，是IEEE754單精度格式表示的最大階碼。因此使f2結果不溢出的最大n值爲126.
【我的做法】由於IEEE754單精度階碼最大爲254，所以254-1-127=136，即得。
當n=23時，f(23)爲24位1，float型數有24位有效位，所以不需要舍入，結果精確，因此使f2獲得精確結果的最大n值爲23.
注：由第（5）問知道：浮點數可以表示更大範圍，代價是損失精度；而整型可以表示更好精度，代價是損失範圍。