Codeforces Round #383 (Div. 1) D. Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths(啓發式合併)

題目

n(n<=5e5)個點的以1爲根的有根樹，每條邊上有一個'a'到'v'的字母(即字母種數=22)

稱一條路徑(u,v)是合法的，當且僅當這條路徑上的字母，能經過重排形成迴文串

對於每個點u，求u的子樹內最長的合法路徑

思路來源

https://www.luogu.com.cn/blog/Soulist/solution-cf741d

題解

考慮重排構成迴文串，當且僅當其字符數量均爲偶數或者恰好有一個奇數，

用01表示其奇偶性，對於22種字符，先按位狀壓成[0,(1<<22)-1]的一個整數

則(u,v)的路徑合法，當且僅當的值是0，2的1次方，2的2次方，...，2的21次方，

由於異或性質，，則只需考察u到根1的鏈，v到根1的鏈

開一個1<<22大小的桶，用於記錄當前重兒子桶裏異或值爲x的最大深度爲now[x]，

這樣對於一個u到根的異或值y，如果存在x^y==0，x^y==2的1次方，……，說明可以更新答案，

啓發式合併複雜度O(nlogn)，check及更新答案23次操作，即O(23nlogn)

 

答案分三種，

1.兩個點均來自輕兒子/重兒子子樹中

2.一個點是根，一個點是兒子

3.一個點在重兒子樹(及已經掛上去的輕兒子)上，另一個點爲當前枚舉的輕兒子

 

啓發式合併，感覺是把答案拆成兩半維護，

對於當前枚舉的節點，高效地去找那另一半與其能拼湊成答案的值

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define vi vector<int>
#define SZ(x) (int)(x.size())
#define sci(x) scanf("%d",&(x))
#define all(v) (v).begin(),(v).end()
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
ll modpow(ll x,ll n,ll mod){ll res=1;for(;n;n>>=1,x=x*x%mod)if(n&1)res=res*x%mod;return res;}
const db eps=1e-8,PI=acos(-1.0);
const int N=5e5+10,M=(1<<22)+5,INF=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;//998244353
vector<P>E[N];
int n,f;
char s[5];
ll ans[N],dis[N],d[N],now[M];//now i:表示子樹裏鏈異或值爲i的最大深度爲nowi
int sz[N];
int st[N],ed[N],dfn[N],tot;
void dfs(int u,int fa){
    sz[u]=1;
    st[u]=++tot;
    dfn[tot]=u;
    for(P x:E[u]){
        int v=x.fi,w=x.se;
        if(v!=fa){
            dis[v]=dis[u]^w;
            d[v]=d[u]+1;
            dfs(v,u);
            sz[u]+=sz[v];
        }
    }
    ed[u]=tot;
}
void dfs(int u,int fa,bool keep){
    int mx=-1,son=-1;
    for(P x:E[u]){
        int v=x.fi,w=x.se;
        if(v!=fa&&sz[v]>mx)
            mx=sz[v],son=v;
    }
    for(P x:E[u]){
        int v=x.fi,w=x.se;
        if(v!=fa&&v!=son){
            dfs(v,u,0);
            ans[u]=max(ans[u],ans[v]);//1.來自輕兒子
        }
    }
    if(son!=-1){
        dfs(son,u,1);
        ans[u]=max(ans[u],ans[son]);//1.來自重兒子
    }
    for(P x:E[u]){
        int v=x.fi,w=x.se;
        if(v!=fa&&v!=son){
            for(int i=st[v];i<=ed[v];i++){
                int x=dfn[i];
                if(now[dis[x]]){
                    ans[u]=max(ans[u],now[dis[x]]+d[x]-2*d[u]);//2.把輕兒子往u所在重兒子子樹上掛 統計異或爲0的答案
                }
                for(int k=0;k<22;++k){
                    if(now[dis[x]^(1<<k)]){
                        ans[u]=max(ans[u],now[dis[x]^(1<<k)]+d[x]-2*d[u]);//2.把輕兒子往u所在重兒子子樹上掛 統計二進制僅一位的答案
                    }
                }
            }
            for(int i=st[v];i<=ed[v];i++){
                int x=dfn[i];
                now[dis[x]]=max(now[dis[x]],d[x]);
            }
        }
    }
    if(now[dis[u]]){//3.以根爲一端的一條鏈 異或爲0 異或二進制僅一位
        ans[u]=max(ans[u],now[dis[u]]-d[u]);
    }
    for(int k=0;k<22;++k){
        if(now[dis[u]^(1<<k)]){
            ans[u]=max(ans[u],now[dis[u]^(1<<k)]-d[u]);
        }
    }
    now[dis[u]]=max(now[dis[u]],d[u]);
    if(keep==0){
        for(int i=st[u];i<=ed[u];i++){
            int x=dfn[i];
            now[dis[x]]=0;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;++i){
        scanf("%d%s",&f,s);
        int w=1<<(s[0]-'a');
        E[f].pb(P(i,w));//E[i].pb(P(fa,w));
    }
    dfs(1,-1);
    dfs(1,-1,0);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    printf("%lld%c",ans[i]," \n"[i==n]);
    return 0;
}