Codeforces Round #654 (Div. 2) E2 - Asterism (Hard Version)(思維題/區間滾動or雙指針or排序)

題目

給定一個n,p(2<=p<=n<=1e5)，保證p是素數

以下一個長度爲n的數組a[]，第i個數ai(1<=ai<=1e9)，代表第i個人手中的糖果數

 

設Yuzu初始有x塊糖，以下Yuzu要參加一個比糖果多少的遊戲，

她可以預先指定這個比的順序，也就是1-n這n個人的排列，

如果Yuzu的糖大於等於對方的糖，Yuzu就贏了，

並且本輪中還會獲得一塊糖，然後再比下一輪

Yuzu想贏得所有的n輪遊戲，設能滿足其要求的n個人的排列數爲f(x)

若f(x)不是p的倍數，則稱x是"好"的，

求"好"的x的個數，並輸出所有的x

思路來源

1、2來自官方題解，3來自題解下方評論區及羣友

題解

1、2：

設mx=max{ai}，也就是最多的糖果數

首先，注意到，（不要在意等號這些細節，可能會差1）

所需的糖數x不會少於mx-n，否則把mx放到最後一位也比不贏，

也就意味着所有的場次都比不贏， f(x)=0，%p==0

所需的糖數x不會多於mx，否則怎麼安排順序都會贏，f(x)=n!，%p==0

也就是，只需要在[mx-n,mx]這個長度爲n的區間檢查答案

 

記num[i]爲糖果數不超過i的人數，，

對應了i從0到n-1時，當前糖果數爲x+i時，每次num[x+i]-i個人可以挑戰

f(x)不爲p整除，令g(i)=num[x+i]-i，即任意g(i)都不爲p整除，則g(i)取值應均在[1,p-1]，

考察g函數的性質，

若固定x，前一項隨着i的增加而遞增（非嚴格），後一項減1，所以g(i)要麼遞增，要麼最多減1，

若對於某一個x，畫出g的函數圖像，發現x遞增的時候，函數圖像會向上平移（非嚴格），

即在時的g(i)，一定不超過時的g(i)，

所以，答案應該是連續的一段，從某個值函數圖像均落在[1,p-1]起，到往上平移，挪出這個區間

 

題解1：

令x的左界lb=mx-n+1，如果對於當前i，num[lb+i]-i<1，說明應該增加下界，使g(i)更大， 

不斷增lb，直至當前的i合法，再檢查下一個i

令x的右界ub=mx-n+n，如果對於當前i，num[lb+i]-i>=p，說明應該減小上界，使g(i)更小，

不斷減lb，直至當前的i合法，再檢查下一個i

題解2：

考慮，以x+i代換i，有

即給定x，對於所有的i，都不存在i，滿足

對於x=lb，其需要檢查[lb,lb+n-1]的i，

對於x=lb+1，其需要檢查[lb+1,lb+n]的i，

注意到只有左右界的單點修改，區間滾動

那麼，就預先把x=lb的對應的n個插入桶中，判斷x=lb是否合法，

再更改一下左右界，再檢查lb+1，依次類推，直至檢查完ub，

題解3：

先將a數組從小到大排序，則num[x+i]-i<p，即num[x+i]<p+i，排序後的數組中有num[a[p+i-1]]=p+i，

即恰滿足能戰勝p+i個的下界是x=a[p+i-1]，說明num[x+i]<num[a[p+i-1]]，有x+i<a[p+i-1]，即x<a[p+1-i]-i

對於所有p+1-i合法的下標，檢查該不等式，取min即得上界ub

下界同理，由於num[x+i]-i>=1，有num[x+i]>=i+1=num[a[i]]，即x+i>=a[i]，x>=a[i]-i，

對於所有i合法的下標，檢查該不等式，取max即得下界lb

心得

一個題補了一天gg，發現性質很重要，然而着手怎麼做也很重要，

本題性質：num[x+i]-i>=1，num[x+i]-i<p，x只可能在[mx-n,mx]之間

代碼1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2e5+10;
int n,p,a[N],num[M],mx,lb,ub;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=0;i<n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        mx=max(mx,a[i]);
    }
    //mx-n<=x<=mx 偏移量挪動到[0,n]
    for(int i=0;i<n;++i){
        num[max(0,a[i]-(mx-n))]++;
    }
    for(int i=1;i<M;++i){
        num[i]+=num[i-1];
    }
    lb=1;
    //num[n+n] 所以用二倍下標
    for(int i=0;i<n;++i){
        while(num[lb+i]-i<1){
            lb++;
        }
    }
    ub=n;
    for(int i=0;i<n;++i){
        while(ub>0 && num[ub+i]-i>=p){
            ub--;
        }
    }
    if(lb>ub)puts("0");
    else{
        printf("%d\n",ub-lb+1);
        for(int i=lb;i<=ub;++i){
            printf("%d ",i+(mx-n));
        }
    }
    return 0;
}

代碼2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2e5+10;
int n,p,a[N],num[M],mx;
int res[N],c,now[N];
int f(int x,int y){
    return (x%y+y)%y;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=0;i<n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        mx=max(mx,a[i]);
    }
    //mx-n<=x<=mx 偏移量挪動到[0,n]
    for(int i=0;i<n;++i){
        num[max(0,a[i]-(mx-n))]++;
    }
    for(int i=1;i<M;++i){
        num[i]+=num[i-1];
    }
    for(int i=0;i<n;++i){
        now[f(i+(mx-n)-num[i],p)]++;
    }
    for(int i=0;i<=n;++i){
        if(now[f(i+(mx-n),p)]==0){
            res[++c]=i+(mx-n);
        }
        now[f(i+(mx-n)-num[i],p)]--;
        now[f((n+i)+(mx-n)-num[i+n],p)]++;
    }
    printf("%d\n",c);
    for(int i=1;i<=c;++i){
        printf("%d ",res[i]);
    }
    return 0;
}

代碼3

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,p,a[N],lb,ub;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=0;i<n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        ub=max(ub,a[i]);
    }
    sort(a,a+n);
    for(int i=0;i<n;++i){
        lb=max(lb,a[i]-i);
    }
    for(int i=0;p+i-1<n;++i){
        ub=min(ub,a[p+i-1]-i-1);
    }
    if(lb>ub)puts("0");
    else{
        printf("%d\n",ub-lb+1);
        for(int i=lb;i<=ub;++i){
            printf("%d ",i);
        }
    }
    return 0;
}