題目
給定兩個大小爲 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2。
請你找出這兩個有序數組的中位數，並且要求算法的時間複雜度爲 O(log(m + n))。
你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時爲空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
則中位數是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5
來源：力扣（LeetCode）
思路
首先，假設兩個有序數組的長度分別爲m和n，由於兩個數組長度之和 m+n 的奇偶性不確定，因此需要分情況來討論：對於奇數的情況，直接找到最中間的數即可，偶數的話需要求最中間兩個數的平均值。爲了簡化代碼，不分情況討論，使用一個技巧，分別找第 (m+n+1) / 2 個，和 (m+n+2) / 2 個，然後求其平均值，這對奇偶數都是適用的。若 m+n 爲奇數的話，那麼 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相當於兩個相同的數字相加再除以2，還是其本身。
其次，定義一個函數在兩個有序數組中找到第K個元素，如何實現找到第K個元素？首先，爲了避免拷貝產生新的數組從而增加時間複雜度，使用兩個變量i和j分別來標記數組 nums1 和 nums2 的起始位置。然後來處理一些小問題，比如當某一個數組的起始位置大於等於其數組長度時，說明其所有數字均已經被淘汰，相當於一個空數組，實際上就變成了在另一個數組中找數字，當然直接就可以找出來。還有就是，如果 K=1 的話，只要比較 nums1 和 nums2 的起始位置i和j上的數字就可以了。難點就在於一般的情況怎麼處理？因爲需要在兩個有序數組中找到第K個元素，爲了加快搜索的速度，可以使用二分法，本題就是要對K二分，意思是需要分別在 nums1 和 nums2 中查找第 K/2 個元素，注意，這裏由於兩個數組的長度不定，所以有可能某個數組沒有第 K/2 個數字，所以需要先 檢查 一下，數組中到底存不存在第 K/2 個數字，如果存在就取出來，否則就賦值一個整型最大值（目的是要在 nums1 或者 nums2 中先淘汰 K/2 個較小的數字，判斷的依據就是看 midVal1 和 midVal2 誰更小，但如果某個數組的個數不到 K/2 個，自然無法淘汰，所以將其對應的 midVal 值設爲整型最大值，以保證其不會被淘汰），若某個數組沒有第 K/2 個數字，則淘汰另一個數組的前 K/2 個數字即可。
舉例說明，比如 nums1 = {3}，nums2 = {2, 4, 5, 6, 7}，K=4，要找兩個數組混合中第4個數字，則分別在 nums1 和 nums2 中找第2個數字，而 nums1 中只有一個數字，不存在第二個數字，則 nums2 中的前2個數字可以直接跳過，爲啥呢，因爲要求的是整個混合數組的第4個數字，不管 nums1 中的那個數字是大是小，第4個數字絕不會出現在 nums2 的前兩個數字中，所以可以直接跳過。
最後，有沒有可能兩個數組都不存在第 K/2 個數字呢，這道題裏是不可能的，因爲K不是任意給的，而是給的 m+n 的中間值，所以必定至少會有一個數組是存在第 K/2 個數字的。最後就是二分法的核心，比較這兩個數組的第 K/2 小的數字 midVal1 和 midVal2 的大小，如果第一個數組的第 K/2 個數字小的話，那麼說明要找的數字肯定不在 nums1 中的前 K/2 個數字，可以將其淘汰，將 nums1 的起始位置向後移動 K/2 個，並且此時的K也自減去 K/2，調用遞歸，舉個例子來說，比如 nums1 = {1, 3}，nums2 = {2, 4, 5}，K=4，要找兩個數組混合中第4個數字，那麼分別在 nums1 和 nums2 中找第2個數字，nums1 中的第2個數字是3，nums2 中的第2個數字是4，由於3小於4，所以混合數組中第4個數字肯定在 nums2 中，可以將 nums1 的起始位置向後移動 K/2 個。反之，淘汰 nums2 中的前 K/2 個數字，並將 nums2 的起始位置向後移動 K/2 個，並且此時的K也自減去 K/2，調用遞歸即可。
C++代碼
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
{
int m = nums1.size(), n = nums2.size(), left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
}
int findKth(vector<int>& nums1, int i, vector<int>& nums2, int j, int k)
{
if (i >= nums1.size())
return nums2[j + k - 1];
if (j >= nums2.size())
return nums1[i + k - 1];
if (k == 1)
return min(nums1[i], nums2[j]);
int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.size()) ? nums1[i + k / 2 - 1] : INT_MAX;
int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.size()) ? nums2[j + k / 2 - 1] : INT_MAX;
if (midVal1 < midVal2)
{
return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
}
else
{
return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
}
}
};