[ACM]【prefix/求和/取餘】牛客練習賽64 序列卷積之和

序列卷積之和

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題意：求$\sum_{l=1}^n\sum_{r=l}^n\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^ra_i\times a_j\mod 1e9+7$

思路：

本弱雞隻會找規律（。看到題解恍然大悟。
就是強行用前綴和把循環一層一層剝掉。
一開始是

for(int l=1;l<=n;l++)
	for(int r=l;r<=n;r++)
		for(int i=l;i<=r;i++)
			for(int j=i;j<=r;j++)
				sum+=a[i]*a[j];

把最內層循環展開，是
$a[i]*a[i]+a[i]*a[i+1]+...+a[i]*a[r]$
即
$a[i]*(a[i]+a[i+1]+...+a[r])$
我們求$a[i]$的前綴和，設爲$b[i]$
即
$a[i]*(b[r]-b[i-1])$

for(int l=1;l<=n;l++)
	for(int r=l;r<=n;r++)
		for(int i=l;i<=r;i++)
			sum+=a[i]*(b[r]-b[i-1]);

把最內層循環展開，是
$a[l]*(b[r]-b[l-1])+a[l+1]*(b[r]-b[l+1-1])+...+a[r]*(b[r]-b[r-1])$
拆開小括號，重新組合，得
$b[r]*(a[l]+a[l+1]+...+a[r])-(a[l]*b[l-1]+a[l+1]*b[l+1-1]+...+a[r]*a[r-1])$
即
$b[r]*(b[r]-b[l-1])-(a[l]*b[l-1]+a[l+1]*b[l+1-1]+...+a[r]*a[r-1])$
我們求$a[i]*b[i-1]$的前綴和，設爲$c[i]$
即
$b[r]*(b[r]-b[l-1])-(c[r]-c[l-1])$

for(int l=1;l<=n;l++)
	for(int r=l;r<=n;r++)
		sum+=b[r]*(b[r]-b[l-1])-(c[r]-c[l-1]);

把最內層循環展開，是
$b[l]*(b[l]-b[l-1])-(c[l]-c[l-1])+b[l+1]*(b[l+1]-b[l-1])-(c[l+1]-c[l-1])+...+b[n]*(b[n]-b[l-1])-(c[n]-c[l-1])$
拆開小括號，重新組合，得
$(b[l]^2+b[l+1]^2+...+b[n]^2)-b[l-1]*(b[l]+b[l+1]+...+b[n])-(c[l]+c[l+1]+...+c[n])+(n-l+1)*c[l-1]$
我們求$b[i]^2$的前綴和，設爲$d[i]$
求$b[i]$的前綴和，設爲$e[i]$
求$c[i]$的前綴和，設爲$f[i]$
即
$(d[n]-d[l-1])-b[l-1]*(e[n]-e[l-1])-(f[n]-f[l-1])+(n-l+1)*c[l-1]$

for(int l=1;l<=n;l++)
	sum+=(d[n]-d[l-1])-b[l-1]*(e[n]-e[l-1])-(f[n]-f[l-1])+(n-l+1)*c[l-1];

現在複雜度就簡化爲$O(n)$了。
接下來我們要對求餘進行常規操作：
在求bcdef數組的時候，直接每求一個都取餘，這個沒所謂。
但是在sum裏面，存在減法和乘法，事態就變得不同尋常了。
遇到減法之後，我們可以在減法進行的地方加mod，也可以在減法進行的地方做了乘法之後加mod，是一樣的。
那麼代碼就寫出來了。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=2e5+4;
typedef long long ll;
ll a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn],e[maxn],f[maxn];
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=(b[i-1]+a[i])%mod;
		c[i]=(c[i-1]+a[i]*b[i-1])%mod;
		d[i]=(d[i-1]+b[i]*b[i])%mod;
		e[i]=(e[i-1]+b[i])%mod;
		f[i]=(f[i-1]+c[i])%mod;
	}
	ll ans=0;
	for(int l=1;l<=n;l++){
		ans+=(d[n]-d[l-1]-b[l-1]*(e[n]-e[l-1]))%mod+mod-(f[n]-f[l-1]+mod)+(n-l+1)*c[l-1];
		ans=(ans+mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}