算法導論 — 4.1 最大子數組問題

筆記

本節給出了分治法的一個例子。給定一個數組$A[1..n]$，找出一個元素和爲最大的連續子數組$A[i..j]$，其中$1 ≤ i ≤ j ≤ n$，稱這樣的子數組爲最大子數組。例如，下圖所示數組中，第$8$個元素到第$11$個元素之間的子數組爲最大子數組。
　　
　　求解最大子數組問題，最簡單的方法是暴力檢查所有的子數組，從中找出和爲最大的子數組。對於一個有$n$個元素的數組，一共有$C_n^2+C_n^1=n(n-1)/2+n=Θ(n^2)$個子數組。參考練習4.1-2可知，計算每個子數組的和只需要$O(1)$時間。因此暴力求解法的所花費的時間爲$Θ(n^2)$。
　　除了暴力求解法，最大子數組問題還可以使用分治法求解，並且分治法具有更優的時間複雜度。假定要尋找子數組$A[low..high]$的最大子數組，我們從中央位置$mid=⌊(low+high)/2⌋$將$A[low..high]$劃分爲兩個子數組，$A[low..mid]$和$A[mid+1..high]$。於是，$A[low..high]$的任何一個子數組$A[i..j]$必然是以下三種情況之一：
　　• 完全位於子數組$A[low..mid]$中，即$low ≤ i ≤ j ≤ mid$。
　　• 完全位於子數組$A[mid+1..high]$中，即$mid < i ≤ j ≤ high$。
　　• 跨越了中央位置$mid$，即$low ≤ i ≤ mid < j ≤ high$。
　　根據以上分析，可以遞歸求解最大子數組問題。對於一個子數組$A[low..high]$，首先尋找跨越中央位置的最大子數組，然後分別遞歸求解$A[low..mid]$和$A[mid+1..high]$的最大子數組，比較這三種情況的最大子數組，從中選出元素和最大者作爲$A[low..high]$的最大子數組。
　　分治法的關鍵在於尋找跨越中央位置的最大子數組。對於一個子數組$A[low..high]$，任何跨越中央位置$mid$的子數組必然都由兩個子數組$A[i..mid]$和$A[mid+1..j]$組成，其中$low ≤ i ≤ mid$並且$mid < j ≤ high$。因此，我們只需要找出形如$A[i..mid]$和A$[mid+1..j]$的最大子數組，然後將二者合併即可。下面給出尋找跨越中央位置的最大子數組的僞代碼。
　　
　　接下來給出分治法求解最大數組問題的僞代碼。
　　
　　要尋找數組$A[1..n]$的最大子數組，只需要調用FIND-MAXIMUM -SUBARRAY$(A, 1, n)$即可。
　　下面分析分治法求解最大子數組問題的時間複雜度。對於長度爲$n$的數組，求解最大子數組的時間用$T(n)$表示。$T(n)$由三部分組成：
　　• 遞歸求解子數組$A[1..mid]$的最大子數組的時間$T(n/2)$；
　　• 遞歸求解子數組$A[mid+1..n]$的最大子數組的時間$T(n/2)$；
　　• 求解跨越中央位置的最大子數組的時間，這一時間爲$Θ(n)$。
　　所以有遞歸式$T(n) = 2T(n/2) +Θ(n)$。求解這個遞歸式，得到$T(n) = Θ(nlgn)$。

練習

4.1-1 當$A$的所有元素均爲負數時，FIND-MAXIMUM-SUBARRAY返回什麼？
　　解
　　返回數值最大的那個負數，即絕對值最小的負數。
　　
4.1-2 對最大子數組問題，編寫暴力求解方法的僞代碼，其運行時間應該爲$Θ(n^2)$。
　　解
　　
　　
4.1-3 當你的計算機上實現最大子數組問題的暴力算法和遞歸算法。請指出多大的問題規模$n_0$是性能交叉點——從此之後遞歸算法將擊敗暴力算法？然後，修改遞歸算法的基本情況——當問題規模小於$n_0$時採用暴力算法。修改後，性能交叉點會改變嗎？
　　略

4.1-4 假定修改最大子數組問題的定義，允許結果爲空子數組，其和爲$0$。你應該如何修改現有算法，使它們能允許空子數組爲最終結果？
　　解
　　先對整個數組遍歷一遍，檢查是否所有元素都爲負數。如果所有元素都爲負數，則算法輸出空子數組。如果數組中存在正數，則調用FIND-MAXIMUM –SUBARRAY求解。

4.1-5 使用如下思想爲最大子數組問題設計一個非遞歸的、線性時間的算法。從數組的左邊界開始，由左至右處理，記錄到目前爲止已經處理過的最大子數組。若已知$A[1..j]$的最大子數組，基於如下性質將解擴展爲$A[1..j+1]$的最大子數組：$A[1..j+1]$的最大子數組要麼是$A[1..j]$的最大子數組，要麼是某個形如$A[i..j+1]$的最大子數組$(1 ≤ i ≤ j+1)$。在已知形如$A[i..j]$的最大子數組的情況下，可以在常數時間內找出形如$A[i..j+1]$的最大子數組。
　　解
　　與分治法不同，這是典型的增量法。本題的關鍵在於：在已知以$A[j]$結尾的最大子數組的情況下，找出以$A[j+1]$結尾的最大子數組。假設以$A[j]$結尾的最大數組爲$A[i..j] (1 ≤ i ≤ j)$。分兩種情況：
　　(1) 如果$A[i..j]$各元素之和${\rm sum}\{A[i..j]\} > 0$，那麼以$A[j+1]$結尾的最大數組爲$A[i..j+1]$。這一點可以用反證法來說明。假設以$A[j+1]$結尾的最大數組爲$A[k..j+1]$，其中$1 ≤ k ≤ j+1$並且$k ≠ i$。又分兩種情況討論。
　　1) $1 ≤ k ≤ j$：由於以$A[j]$結尾的最大子數組爲$A[i..j]$，所以${\rm sum}\{A[k..j]\} ≤ {\rm sum}\{A[i..j]\}$，從而有${\rm sum}\{A[k..j+1]\} ≤ {\rm sum}\{A[i..j+1]\}$。如果${\rm sum}\{A[k..j+1]\} < {\rm sum}\{A[i..j+1]\}$，那麼$A[k..j+1]$肯定不是以$A[j+1]$結尾的最大數組，這與假設矛盾。如果${\rm sum}\{A[k..j+1]\} = {\rm sum}\{A[i..j+1]\}$，那麼如果假設成立，即$A[k..j+1]$是以$A[j+1]$結尾的最大數組，那麼$A[i..j+1]$也同樣是以$A[j+1]$結尾的最大數組。
　　2) $k = j$：此時假設的以$A[j+1]$結尾的最大數組爲$A[j+1]$本身。由於${\rm sum}\{A[i..j]\} > 0$，所以${\rm sum}\{A[i..j+1]\} > A[j+1]$。這說明$A[j+1]$本身肯定也不是以$A[j+1]$結尾的最大數組，這與假設矛盾。
　　(2) 如果$A[i..j]$各元素之和${\rm sum}\{A[i..j]\} ≤ 0$，那麼$A[j+1]$結尾的最大數組爲$A[j+1]$本身。這一點同樣可以用反證法來說明，這裏就不贅述。
　　下面給出該算法的僞代碼。
　　
　　對於一個包含$n$個元素的數組，該算法一共包含$n$次迭代，每次迭代花費$Θ(1)$時間。因此，該算法的運行時間爲$Θ(n)$。
　　
　　本節代碼鏈接：
　　https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter04/Section_4.1