| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S: | a | b | c | a | b | a | b | c | a | b | x |
| P: | a | b | c | a | b | x | |||||
| 多餘 | a | b | c | a | b | x | |||||
| 多餘 | a | b | c | a | b | x | |||||
| a | b | c | a | b | x | ||||||
| a | b | c | a | b | x | ||||||
| 匹配 | a | b | c | a | b | x | |||||
| KMP算法： | |||||||||||
| a | b | c | a | b | x | ||||||
| 匹配： | a | b | c | a | b | x |
- 因爲第一次匹配時，在S[5] != P[5]（a != x）處失配，按照暴力匹配算法，此時應判斷S[1] 與P[0]是否相等，發現不相等，則繼續判斷S[2]與P[0]，發現不相等，則繼續判斷S[3]與P[0]，發現相等，判斷S[4]與P[1]是否相等。其實以上4步完全是多餘的
- 多餘的原因：在第一次匹配時，我們已經知道S[0]-S[4]與模式串P的部分匹配關係（P[0]-P[4]）即：S[5]之前的都已經知道和模式串P的匹配關係了，不需要重寫回溯S來判斷了，因爲abcab的最大前後綴匹配個數爲2，即：S的後綴：S[3]-S[4]與P的前綴P[0]-P[1]是匹配的，則只需要從P[2]與S[5]開始判斷即可（如果字符串不存在前後綴匹配，則從P[0]開始匹配，例如ab的最大前後綴匹配個數爲0，則判斷S[5]與P[0]是否相等，相等，則i++，j++繼續向後匹配
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S: | a | a | a | a | b | c | d | e | f | ||
| P: | a | a | a | a | a | x | |||||
| 多餘 | a | a | a | a | a | x | |||||
| 多餘 | a | a | a | a | a | x | |||||
| 多餘 | a | a | a | a | a | x | |||||
| 多餘 | a | a | a | a | a | x | |||||
| a | a | a | a | a | x | ||||||
| KMP改進： | |||||||||||
| a | a | a | a | a | x | ||||||
| a | a | a | a | a | x |
- 第一次匹配，S[4] !=P[4]，此時應用KMP算法，應將S[4]與P[3]比較，但是因爲P[3]=P[4]，所以S[4]與P[3]的比較是多餘的，我們已經知道他們的大小關係。同理，P[2]、P[1]、P[0]與S[4]的比較都是多餘的。
- next值的含義：找到模式串中的一個位置k，使得P[k]的值與剛纔失配的S值比對，以此省略大多數沒有用的步驟。但是我們不希望找到的這個P[k]的值和P[j]的值相等，因爲我們知道P[j]與失配處的S的關係。
- 所以，當P[j] == P[next[j]]時，我們應該找P[next[j]]的下一個next值對應的P值來與剛纔失配的S進行匹配。
KMP算法的核心：通過利用已經匹配了的P的信息，來儘可能的減少沒有必要的步驟，通過P的信息可以知道下面有多少步驟是可以直接省略的，也就是知道，下面有多少步驟的匹配關係是已知的。
一個字符串，前綴、後綴相等的個數的意義是什麼？
abcabx
- 最大前綴、後綴匹配個數：2（與字符串的最後兩位纔有可能匹配）
- 存在的前綴、後綴匹配個數：2
| a | b | c | a | b | x失配的地方 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 一定不匹配 | a | b | c | a | b | y | |||
| 一定不匹配 | a | b | c | a | b | y | |||
| 可能匹配（y!=c，所以c匹不匹配不知道） | a | b | c | a | b | y |
aaaaax
- 最大前綴、後綴匹配個數：4（與字符串的最後4位纔有可能匹配）
- 存在的前綴、後綴匹配個數：1、2、3、4
- 從匹配個數最多的開始找，順序爲：4、3、2、1
| a | a | a | a | a | x | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 可能匹配（a!=y，所以匹不匹配不知道） | a | a | a | a | a | y | ||||||
| 一定不匹配（已知a不匹配了，而下一個next值對應的又是a，顯然不匹配） | a | a | a | a | a | y | ||||||
| 一定不匹配 | a | a | a | a | a | y | ||||||
| 一定不匹配 | a | a | a | a | a | y | ||||||
| 一定不匹配 | a | a | a | a | a | y | ||||||
| 改進的KMP：直接跳到next爲-1 | a | a | a | a | a | y |
- 因爲P[j]的next對應的值等於P[j]，而我們的目的是匹配我們不知道的P。所以我們要繼續尋找下一個next值，直到找到不等於P[j]爲止，或者找到的P爲P[0]爲止。（此處找next的過程爲一個遞歸的過程）