數據庫筆記：（二）、關係數據庫

一、關係和關係模式

1.1 關係的數學定義

• 域（Domain）
  • 具有相同類型的值的集合 ， 例如：全體整數 。
  • 基數：域中值的個數。
• 笛卡爾積 （Cartesian Product）
  • 定義：給定一組域D1,D2,D3，則D1×D2×D3稱爲笛卡爾積。
  • 笛卡爾積D1×D2×D3對應一個二維表，所含元組的個數等於各個域的基數之積。

設 D1={張三，李四}， D2={數學，語文}， D3={優，良}

則D1×D2×D3可用二維表表示爲：

-	-	-
張三	數學	優
張三	數學	良
張三	語文	優
張三	語文	良
李四	數學	優
李四	數學	良
李四	語文	優
李四	語文	良

1.2 關係（Relation）

• 定義
  • 笛卡兒積的一部分元組 ，記作 R（D1，D2，…，Dn）。
  • 關係是一個二維表
  • 每行對應一個元組
  • 每列可起一個名字，稱爲屬性。屬性的取值範圍爲一個域，元組中的一個屬性值是一個分量。
• 關係的目（或度）
  • 一個關係所含屬性的個數
• 關係的性質
  • 列是同質的，即每列中的數據必須來自同一個域
  • 每一列必須是不可再分的數據項（不允許表中套表，即 滿足第一範式）
  • 不能有相同的行
  • 行、列次序無關

1.3 完整性約束

• 實體完整性：關係的所有主屬性都不能取空值
• 參照完整性
  • 若屬性F是關係R的外碼，與關係S的主碼對應，則：
    • F要麼取空值
    • F要麼等於S中某個元素的主碼值。

二、關係代數

2.1 集合運算

• $R$, $t\in R$ , $t[A_i]$，$A$ ，$t[A]$，$\overline{A}$，$\overbrace{t_rt_s}$
  • 設關係模式爲$R(A_1,A_2,...,A_n)$，它的一個關係設爲R。
  • ==$t \in R$==表示 $t$ 是 $R$ 的一個元組；
  • $t[A_i]$ 表示元組 $t$ 中相對應與屬性 $A_i$ 的一個分量；
  • 若 $A=$ 屬性組 $\{ A_{i1}, A_{i2},...,A_{ik} \}$ ；
  • $t[A] = (t[A_{i1}], t[A_{i2}],...,t[A_{ik}])$ 表示元組 $t$ 在 $A$ 上諸分量的集合；
  • $\overline{A}$ 表示 $\{A_1,A_2,...,A_n\}$ 中去掉$\{ A_{i1}, A_{i2},...,A_{ik} \}$ 後剩餘的屬性組；
  • $\overbrace{t_rt_s}$ 表示元組的連接（拼接）。
• 並（Union）： $R \cup S = { t | t \in R∨t \in S} $
  • R和S的屬性個數相同
  • R和S相對應的屬性屬於同一個域
  • 所有在R中的也在S中的元組
• 交（Intersection）： $R ∩ S = { t | t∈R∧t∈S} $
• 差（Difference）： $R - S = { t | t∈R∧t∈S} $
  • 所有在R中，但是不在S中的元組
• 笛卡爾積：$R \times S = \{ \overbrace{t_st_r} | t_r \in R ∧ t_s \in S\}$

2.2 關係運算

• 選擇（Selection），又稱限制（Restriction）

$\sigma_F(R)$ ： 在關係R中選出滿足條件F的諸元組形成一個新關係。 （從關係中選擇符合條件的行）

• 投影（Projecttion）

$\pi_A(R)$ ： 在關係R中選出若干屬性列組成一個新關係 。（刪除一些不想要的列）

注：投影后若有重複行，則自動保留一個

• 連接（Join）

連接運算從R和S的笛卡爾積R×S中選取（R關係）在A屬性組上的值與（S關係）在B屬性組上值滿足比較關係θ的元組。

1. 等值連接： θ爲“=”的連接運算稱爲等值連接。它是從關係R與S的笛卡爾積中選取A、B屬性值相等的那些元組。
2. 自然連接： 是一種特殊的等值連接，即對兩張表的所有公共屬性上都做等值連接。
3. 外連接：自然連接之外，不符合等值連接的元組賦空值。

• 除（Division）

  • 設兩個關係爲：R(X, Y), S(Y, Z)；
  • R/S 表示找出在R中，跟S中所有的Y值都有聯繫的X值。

$R/S = \pi_x(R) - \pi_x((\pi_x(R) \times S) - R)$

三、關係演算

3.1 域關係演算

3.1.1 基本格式：

$\{<X_1, X_2,...,X_n> | P(X_1, X_2,...,X_n,X_{n+1},...,X_{n+m})\}$

• $X_1, X_2,...,X_n,X_{n+1},...,X_{n+m}$ 是域變量

• $X_1, X_2,...,X_n$ 是結果中要顯示的變量

• P是表達式

3.1.2 表達式

• 原子公式（Atomic formula）

  • $<X_1, X_2,...,X_n> \in R$；$X op Y$；$XopConstant$；
  • $op$ 是 $<,>,=,\leq,\geq,\neq$ 其中之一；

• 原子公式是一個表達式

• ￢p（否定），p∧q（與），p∨q（或）是一個表達式

3.2 元組關係演算

3.2.1 基本格式：

$\{t[A] | P(t)\}$