五：使用拉普拉斯變換求解微分方程

Notes

使用拉普拉斯變換可以將微分方程轉變爲代數方程，而使用MATLAB求解代數方程則簡單的多。

EXAMPLE

由於初始條件爲0，對上述微分方程進行拉普拉斯變換得到：

化簡得到：

使用MATLAB求解留數，極數以及直接項k:

>> num = [2];
>> den = [1 2 10 0 0 0];
>> [r,p,k] = residue(num,den)

r =

   0.0060 - 0.0087i
   0.0060 + 0.0087i
  -0.0120 + 0.0000i
  -0.0400 + 0.0000i
   0.2000 + 0.0000i


p =

  -1.0000 + 3.0000i
  -1.0000 - 3.0000i
   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i


k =

     []

可以看到，有三個極數相等，所以有三重根：

對於極點含有共軛復根的情況，我們通常將其合併爲一項，然後利用拉普拉斯逆變換轉變爲正餘弦關係式：

拉普拉斯逆變換：