傳遞函數零極點

1. 概念

系統傳遞函數經過因式分解可寫爲：
$G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{(s-z_{1})(s-z_{2})\dotsb(s-z_{j})(s-z_{m})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\dotsb(s-p_{i})(s-p_{n})}k_{1}$
其中，$z_{j}(j=1,2,\dotsb,m)$爲分子多項式等於零的根，稱爲系統的零點，$p_{i}(i=1,2,\dotsb,n)$爲分母多項式等於零的根，稱爲系統的極點（也稱特徵根）。

2. 利用零極點分析系統

1. 系統穩定的充要條件
   系統穩定的充要條件爲系統閉環傳函的所有極點均爲負數或具有負的實數部分。
2. 系統穩定的必要條件
   設已知系統的閉環特徵方程爲：
   $a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dotsb+a_{1}s+a_{0}=0$
   要使上述特徵方程的所有根均位於$s$左半平面，式中所有的係數需要大於0，即$a_{i}(i=0,1,\dotsb,n)$。
   基於上述命題，其逆否命題一定成立。即式中的數學不全大於0，則特徵方程的根不全位於$s$左邊平面，也即系統不穩定。
   所以在分析一個系統是否穩定時，當發現該系統的閉環特徵方程中有係數爲負數，則不會繼續判斷，該系統肯定不穩定。
3. 系統穩定的充要條件
   勞斯判據是一種判斷系統穩定的充要條件。
4. 穩定度
   上述兩個充要條件只能判斷系統是否穩定，不能確定系統的穩定程度。如果一個系統的所有特徵根均位於$s$，但是均緊靠虛軸，那麼這個系統的動態過程就有較大的超調量和緩慢的響應，甚至當系統內部參數的微小變化，都有可能使得系統閉環特徵根轉移到$s$平面的右半平面，導致系統不穩定。
   基於上述理論，因此係統需要可靠穩定，其特徵根需遠離虛軸。現有穩定度$a$，應用勞斯判據以$s1=s+a$爲變量滿足勞斯判據，則系統的穩定度爲$a$，系統的特徵根均位於$-a$左側。
5. 根軌跡法
   極點在$s$平面上分佈不同，系統的動態特性也不同。
   對於低階系統來說，可以通過計算的方式直接或者利用勞斯判據研究系統中某些參數對閉環系統瞬態響應的影響。
   對於高階系統來說，直接計算或者使用勞斯判據複雜易出錯，因爲可以使用根軌跡法。
6. 閉環零極點與階躍響應的定性關係
   (1) 要求系統穩定，則閉環極點都必要位於$s$平面左側。
   (2) 要求系統響應快速性好，閉環極點要遠離虛軸。
   (3) 要求系統平穩性好，振盪小，則複數極點最好位於$s$平面中與負實軸成$\pm45\degree$夾角附近，所以阻尼比 $\xi=\cos{\theta}=45\degree=0.707$。
   (4) 要求儘快結束動他過程，則閉環極點間距大，閉環零極點間距小。
   (5) 離虛軸最近的閉環極點對系統的動態過程起着主要的作用，該閉環極點稱爲閉環主導極點；但若使一個零點靠近甚至於這個極點相等，則該極點對系統動態的影響就可以忽略不計，此時，系統的動態由下一個離虛軸近的極點決定，而這個極點較上一個極點離虛軸遠，所以動態性能就有所提高。其中，零極點接近，構成偶極子。利用閉環主導極點的概念，可以將高階系統近似按照一階和二階系統進行分析。
7. 零極點其他特性
   (1) 增加開環極點一般會使閉環動態性能變差，尤其對穩定性影響較大。
   (2) 增加開環零點對增強系統穩定性、改善系統動態性能有利。
   (3) 開環零點越靠近虛軸，作用越強，對系統閉環動態及穩定性改善越明顯。