0-1揹包問題(C C++及Java實現)

0-1揹包問題，是說給定 n 個物體，每個物體都有一定的重量和價值，再給一個能容納最大重量爲 w 的揹包。求從 n 個物體中選出若干個放到揹包中，在所選物體總重量不超過 w 的情況下，所選物體的總價值最大。

注意：所有物體都不可分割。

分析：這個問題可抽象爲給定兩個數組 wt[0..n-1] 和 val[0..n-1]，第一個數組表示各物體的重量，第二個數組表示各物體的價值。從 wt 數組中選出若干個元素，它們的總重複不超過 w，而且總價值最大。

這是動態規劃裏的一個經典問題

1.最優子結構性質

在所有的組合中，對任一給定的物體，它要在麼在一個組合裏面，要麼不在這個組合裏面。所以最大價值可這樣選擇：

1）不包括第 n 個物體，只從剩餘的 n-1 個物體中選擇；

2）包括第 n 個物體，剩餘的重量 W-wt[n-1] 要從剩餘的 n-1 個物體中選擇。

如果第 n 個物體重量超過 W，那麼就只能選第一種情況，由此得到下面的遞歸程序

 

#include<stdio.h>
 
// A utility function that returns maximum of two integers
int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; }
 
// Returns the maximum value that can be put in a knapsack of capacity W
int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)
{
   // Base Case
   if (n == 0 || W == 0)
       return 0;
 
   // If weight of the nth item is more than Knapsack capacity W, then
   // this item cannot be included in the optimal solution
   if (wt[n-