樣條曲線（參數曲線）曲率

曲率計算公式

設參數曲線C(u):
$C(u) = (x(u),y(y),z(u))$

曲線曲率表達爲：
$k(u)=\frac{|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|}{|C^{'}(u)|^3}\quad (1)$

其中：
$\begin{aligned} &C^{'}(u) 爲一階導數 \\ &C^{''}(u) 爲二階導數 \\ &C^{'}(u)\times C^{''}(u) 爲一階導數和二階導數的叉乘 \\ \end{aligned}$

叉乘公式

設置兩個向量：
$\begin{aligned} 一階導數：&\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)\\ 二階導數：&\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)\\ &\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ \end{matrix} \right|=(x_3,y_3,z_3)=\quad \quad \quad (2)\\ &\quad \quad \quad= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k \end{aligned}$

3-D曲線曲率計算

計算三次樣條曲線曲率：
$\begin{aligned} &C^{'}(u)=(x_1,y_1,z_1)\\ &C^{''}(u)=(x_2,y_2,z_2)\\ &|C^{'}(u)|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}\\ \\ &由公式(2)得：\\ &|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|=\sqrt{x^2_3+y^2_3+z^2_3}\\ \end{aligned}$

2-D曲線曲率計算

2-D曲線的曲率計算時，依然可以使用前文使用的公式，此時，設置z座標值爲0即可：
$\begin{aligned} &\mathbf{a}=(x_1,y_1,0)\\ &\mathbf{b}=(x_2,y_2,0)\\ &\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & 0\\ x_2 & y_2 & 0\\ \end{matrix} \right|=(x_3,y_3,z_3)=\quad \quad \quad (3)\\ \\ &\quad \quad \quad= 0i-0j+(x_1y_2-x_2y_1)k\\ 則：\\ &|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|=\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2}\quad \quad (4)\\ \end{aligned}$
現在考慮參數方程：
$C(u)= \begin{cases} x(u),\\ y(u) \end{cases}$
由高等數學知識得到：
$K=\frac{|x^{'}(u)y^{''}(u)-x^{''}(u)y^{'}(u)|}{|x^{'2}(u)+y^{'2}(u)|^{\frac{3}{2}}}\\ \\ \\ \\ 變量帶入分子即爲：\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2},與公式(3)(4)得到的結果一致.\\$

數學就是這麼奇妙啊!!!

方法驗證–3次B-Spline曲線

n = 12 #n+1個控制點
p = 3  #3次yB-Spline曲線
m = n+p+1 #m+1個參數節點
knots = [0,0,0,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1,1,1]
x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]  #控制點座標
y = [1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1]

結果如下：