【數學建模】基本模型學習筆記（Python編程）

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$\color{#f15642}{\large \mathbf{ 一}}$

模型	參考
層次分析法	①視頻簡介 ②算法推導 ③計算方法
多屬性決策法	①視頻簡介 ②詳細解說

1 層次分析法

1.1 題目

• 建模步驟
  

• 建立層次結構模型
  目標：選擇合適的旅遊地
  從上至下，依次爲目標層、準則層、方案層。（有沒有覺得這個圖很漂亮？中途安利一個在線繪圖網站【點我】）
  

• 構造成對比較矩陣

標度	含義
1	同樣重要
3	稍微重要
5	明顯重要
7	強烈重要
9	極端重要
2，4，6，8	判斷中值
倒數	反過來比較

根據已建立的模型，通過查找資料，並對大量數據進行分析，得到如下成對比較矩陣。（數據來源於參考文獻）
1）C層：以${Z}$爲目標，你認爲${Ci比Cj}$重要多少？
$C_{Z}=C_{5} \times C_{5}= \begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2} &4 &3 &3 \\ 2 &1 &7 &5 &5 \\ \frac{1}{4} &\frac{1}{7} &1 &\frac{1}{2} &\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{5} &2 &1 &1 \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{5} &3 &1 &1 \end{bmatrix}$

2）P層：以${C_{1}}$爲目標，你認爲${Pi比Pj}$重要多少？
$P_{A1}=P_{3} \times P_{3} = \begin{bmatrix} 1 &2 &5 \\ \frac{1}{2} &1 &2 \\ \frac{1}{5} &\frac{1}{2} &1 \end{bmatrix}$

同理，分別以${A_{2-5}}$爲目標，你認爲${Bi比Bj}$重要多少？
$P_{A2}= \begin{bmatrix} 1 &\frac{1}{3} &\frac{1}{8} \\ 3 &1 &\frac{1}{3} \\ 8 &3 &1 \end{bmatrix} P_{A3}= \begin{bmatrix} 1 &1 &3 \\ 1 &1 &3 \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{3} &1 \end{bmatrix} P_{A4}= \begin{bmatrix} 1 &3 &4 \\ \frac{1}{3} &1 &1 \\ \frac{1}{4} &1 &1 \end{bmatrix} P_{A5}= \begin{bmatrix} 1 &1 &\frac{1}{4} \\ 1 &1 &\frac{1}{4} \\ 4 &4 &1 \end{bmatrix}$

• 計算權重向量&一致性檢驗
  ①A的列向量歸一化
  ②求行和，然後歸一化得到權重向量w
  ③根據特徵值定義求得w對應特徵值，即爲最大特徵值λ（近似）。
  $w=\begin{bmatrix} 0.263 \\ 0.475 \\ 0.055 \\ 0.090 \\ 0.110 \end{bmatrix}$
  $\lambda=5.073$
  一致性指標,nXn矩陣：CI = (λ-n)/(n-1)
  $CI= \frac{5.073-5}{5-1}=0.018$
  隨機一致性指標（查表）nXn矩陣
  $RI=1.12$
  一致性比率，不通過要重新構建成對比較矩陣
  $CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}=0.016<0.1(通過一致性檢驗）$

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

注：按照相同方法計算${B_{1-5}}$權重向量和對應特徵值，並分析一致性。

• 計算組合權重向量
  目標：求方案層${B1, B2, B3}$分別對於目標層${Z}$的權重
  舉例：${B1}$對於${A1, A2, A3, A4, A5}$的權重分別乘以${A1, A2, A3, A4, A5}$相對於${Z}$的權重。
  $B_{1→Z}=0.595 \times 0.263+0.082 \times 0.475+0.429 \times 0.055 + 0.633 \times 0.099 + 0.166 \times0.110=0.3$

根據上理，分別求出${B對Z}$權重即可
(不知不覺寫了好多推導過程，雖然都是參考別人的，但還是耗費太多時間，後面我儘量減少過程，直接建模）

1.2 Python源碼

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
輸入成對比較矩陣（list），輸出一致性比率和權重向量，輸入list爲單行形式
如：[[1,2,5], [1/2,1,2], [1/5,1/2,1]]
提示：對特徵向量的不同求解方法將會得到不同權重向量
"""
import numpy as np

# 隨機一致性指標
RI_dict = {1: 0, 2: 0, 3: 0.58, 4: 0.90, 5: 1.12,
           6: 1.24, 7: 1.32, 8: 1.41, 9: 1.45, 10: 1.49, 11: 1.51}


def get_w(array):
    """
    1.列向量歸一化
    2.求每行元素之和歸一化得到權重向量w
    3.根據特徵值定義求w對應的特徵值即爲最大特徵值 λ
    """
    row = array.shape[0]  # 計算出階數
    a_axis_0_sum = array.sum(axis=0)  # 1.列元素和 向量
    b = array / a_axis_0_sum  # 1.列向量歸一化
    b_axis_1_sum = b.sum(axis=1)  # 2.每一行元素之和
    w = b_axis_1_sum / row  # 2.歸一化處理(獲得權重向量向量)提示：經過1的歸一化後，矩陣所有元素之和爲矩陣階數，因此除以階數
    AW = (w * array).sum(axis=1)  # 行和
    max_max = sum(AW / (row * w))  # 獲得對應的特徵值，即最大特徵值
    CI = (max_max - row) / (row - 1)
    CR = CI / RI_dict[row]
    if CR < 0.1:
        print("一致性比率爲：{0}".format(round(CR, 3)))
        print('滿足一致性')
        return w
    else:
        print("一致性比率爲：{0}".format(round(CR, 3)))
        print('不滿足一致性，請進行修改')


def main(array):
    if type(array) is np.ndarray:
        return get_w(array)
    else:
        print('請輸入numpy對象')


if __name__ == '__main__':
    matrix = np.array(eval(input("輸入成對比較矩陣：")))
    print("權重向量：{0}".format(main(matrix)))

2 多屬性決策法

2.1 題目

突然發現2019年亞太杯（APMCM）第B題三問可以用這個模型。本文不討論APMCM，因爲他的數據太多，太耗費時間，有興趣的可以百度看看。如果有時間我再用這個模型復現一下那道題。/flag1
本文討論的題目：對4家企業進行投資評估（來自參考視頻）

• 屬性值歸一化
  有4家企業 ${x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}$，分別有5項屬性 產值（萬元），投資成本（萬元），銷售額（萬元）， 國家收益比重， 環境污染程度。

	產值u1	投資成本u2	銷售額u3	國家收益比重u4	環境污染程度u5
${x_{1}}$	8350	5300	6135	0.82	0.17
${x_{2}}$	7455	4952	6527	0.65	0.13
${x_{3}}$	11000	8001	9008	0.59	0.15
${x_{4}}$	9624	5000	8892	0.74	0.28

現對數據進行歸一化處理。
不同數據，不同歸一算法。
$效益型： r_{ij}= \frac{a_{ij}}{max(a_{ij})} 或 r_{ij}= \frac{a_{ij}-min(a_{ij})}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}$

$成本型： r_{ij}= \frac{min(a_{ij})}{a_{ij}} 或 r_{ij}= \frac{max(a_{ij})-a_{ij}}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}$

$固定型： r_{ij}= 1- \frac{a_{ij} - \alpha_{j}}{max(|a_{ij}-\alpha_{j}|)}(\alpha_{j} 爲固定標準）$

$偏離型： r_{ij}= |a_{ij}-\beta_{j}| -\frac{min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}{max(|a_{ij}-\beta_{j}|)-min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}$

$區間型： r_{ij}= \left\{\begin{matrix} 1 - {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}} ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}] \end{matrix}\right.$

$偏離區間型： r_{ij}= \left\{\begin{matrix} {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}} ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}] \end{matrix}\right.$
易知，投資成本u2和污染程度u5爲成本型，其餘爲效益型，得到歸一後數據

	產值u1	投資成本u2	銷售額u3	國家收益比重u4	環境污染程度u5
${x_{1}}$	0.7455	0.9394	0.6811	1.0000	0.7647
${x_{2}}$	0.6777	1.0000	0.7246	0.7926	1.0000
${x_{3}}$	1.0000	0.6189	1.0000	0.7195	0.8667
${x_{4}}$	0.8749	0.9904	0.9871	0.9024	0.4643

• 計算屬性權重
  和①一樣，構造成對比較矩陣，然後計算權重向量。
  ${u_{1}到u_{5}權重爲[0.4286, 0.1429, 0.1429, 0.1429, 0.1429]^T}$
• 信息集結
  採用加權算術平均算子（WAA），即數據乘以權重，然後相加得到評估分數。
  此外，還有其他集結信息的方式，比如加權幾何平均(WGA)算子：有序加權平均(OWA)算子。

2.2 Latex公式源碼

多屬性決策主要源碼和①層次分析法一樣，關於歸一化方法還要具體情況具體分析，很難設計出通用源碼。因此Python源碼可參考1.2, 下面提供一些Latex公式源碼

$$
效益型：   r_{ij}= \frac{a_{ij}}{max(a_{ij})}  或  r_{ij}= \frac{a_{ij}-min(a_{ij})}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}
$$

$$
成本型：   r_{ij}= \frac{min(a_{ij})}{a_{ij}}  或  r_{ij}= \frac{max(a_{ij})-a_{ij}}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}
$$

$$
固定型：   r_{ij}= 1- \frac{a_{ij} - \alpha_{j}}{max(|a_{ij}-\alpha_{j}|)}(\alpha_{j} 爲固定標準）
$$

$$
偏離型：   r_{ij}= |a_{ij}-\beta_{j}| -\frac{min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}{max(|a_{ij}-\beta_{j}|)-min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}
$$

$$
區間型：   r_{ij}= 
\left\{\begin{matrix}
  1 - {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}}  ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 
 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]
\end{matrix}\right.
$$

$$
偏離區間型：   r_{ij}= 
\left\{\begin{matrix}
 {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}}  ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 
 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]
\end{matrix}\right.
$$

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$\color{#f15642}{\large \mathbf{ 二}}$

模型	參考
圖論-dijstra	①視頻簡介 ②算法實現
圖論-Floyd	①視頻簡介

3 圖論-dijstra

3.1 題目

• 找出v1到v11的最短路徑(來源於參考視頻)
  
• 構造帶權鄰接矩陣
  

3.2 Python源碼

"""
修改最下面的帶權鄰接矩陣
輸出0→n最短路徑長度和步驟
"""
import numpy as np

Inf = np.Inf  # 無窮大
P = 1         # P標記
Q = 0         # Q標記


def dijkstra(matrix):
    m = np.array(matrix)  # 轉化爲矩陣
    n = m.shape[0]        # 獲取矩陣階數

    book = np.zeros(n)  # 記錄P標記和Q標記
    book[0] = P         # 初始點標記P

    route = np.zeros_like(book)  # 記錄路徑

    # 循環（階數-1）次
    for x in range(n - 1):
        min_m = Inf  # 距離初始點距離最小值

        for j in range(n):
            if book[j] == 0 and m[0][j] < min_m:
                min_m = m[0][j]  # 記錄最近值
                u = j  # 記錄最近點
        book[u] = P    # 將該點標記P

        for v in range(n):
            if m[u][v] < Inf:
                if m[0][v] > m[0][u] + m[u][v]:
                    # 如果（0→v）的距離大於（0→u→v），則鬆弛v
                    m[0][v] = m[0][u] + m[u][v]
                    route[x] = u  # 記錄路徑

    print("0到n的最短路徑長度爲：", m[0])  # 輸出最短路徑長路
    print("0到n的最短路徑爲：", route)    # 輸出路徑


"""
帶權鄰接矩陣
"""
k = [[0, 2, 8, 1, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [2, 0, 6, Inf, 1, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [8, 6, 0, 7, 5, 1, 2, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [1, Inf, 7, 0, Inf, Inf, 9, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [Inf, 1, 5, Inf, 0, 3, Inf, 2, 9, Inf, Inf],
     [Inf, Inf, 1, Inf, 3, 0, 4, Inf, 6, Inf, Inf],
     [Inf, Inf, 2, 9, Inf, 4, 0, Inf, 3, 1, Inf],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, 2, Inf, Inf, 0, 7, Inf, 9],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, 9, 6, 3, 7, 0, 1, 2],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, 1, Inf, 1, 0, 4],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, 9, 2, 4, 0]]

dijkstra(k)

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正在更新中……

4 圖論-Floyd

4.1 題目

4.2 Python源碼