DSA數字簽名算法及其實現

一、實驗目的

在掌握了ElGamal和Schorr數字簽名算法的基礎上，進一步地學習和掌握DSA簽名算法。深入地理解該算法是如何降低了簽名信息的長度（當其中一個重要參數選爲512bit的素數時，ElGamal簽名的長度爲1024bit，而DSA中通過160bit的素數可以將簽名的長度降低爲320bit），從而減少了存儲空間和傳輸帶寬。

二、實驗要求

4．學習DSA數字簽名算法。
5．掌握如何使用Java BigInteger類，簡單實現最基礎的DSA公私鑰簽名算法。
6．深入地理解DSA簽名算法與RSA算法的區別。

三、開發環境

JDK 1.8，Java開發環境
四、實驗內容

【1-1】DSA簽名算法的實現

1. 實現系統參數的設置：根據書本上的知識， DSA公私鑰生成算法首先選擇一個160bit 的素數，接着選擇一個長度在512~1024bit的素數，使得能被整除（），最後選擇，其中是整數，滿足，且。從中隨機地選擇一個整數作爲私鑰，計算，用戶的公鑰爲。具體的代碼如下：

public void initKeys(){
    	q = new BigInteger(160, 100, new SecureRandom());
    	do {
    		BigInteger t = new BigInteger(512, new SecureRandom());
    		p = t.multiply(q).add(BigInteger.ONE);
    		System.out.println("~");
    	}while(!p.isProbablePrime(100));
    	BigInteger h = _randomInZq();
    	g = h.modPow(p.subtract(BigInteger.ONE).divide(q), p);
    	x = _randomInZq();
    	y = g.modPow(x, p);
    	System.out.println("p : " + p);
    	System.out.println("q : " + q);
    	System.out.println("g : " + g);
    	System.out.println("x : " + x);
    	System.out.println("y : " + y);
}

其中，需要在前面定義、、、、、和設置一個隨機函數。代碼分別如下：

public class DSASign {
           public BigInteger p,q,g;
           public BigInteger x,y;
           public BigInteger _randomInZq(){
        	  BigInteger r= null;
      	do {
    		    System.out.print(".");
    		    r = new BigInteger(160, new SecureRandom());
         	}while(r.compareTo(q) >=0);
       	 System.out.print(".");
    	     return r;
    }

2. 實現簽名算法：DSA簽名算法是對待簽名的消息進行簽名，其計算如下兩個分量：

因此，可根據公式，寫代碼如下：

	  public BigInteger[] signature(byte m[]){
        	BigInteger k = _randomInZq();
      	BigInteger sig[] = new BigInteger[2];
     	sig[0] = g.modPow(k, p).mod(q);
     	sig[1] = _hashInZq(m).add(x.multiply(sig[0])).mod(q)
     	.multiply(k.modInverse(q)).mod(q);
     	return sig;
}

其中選擇的DSA簽名算法中規定了Hash函數爲SHA-1算法：

public BigInteger __hash(byte m[]) {
		MessageDigest md;
		try {
			md = MessageDigest.getInstance("SHA-1");
			md.update(m);
		    byte b[] = new byte[17];
		    System.arraycopy(md.digest(), 0, b, 1, 16);
		    return new BigInteger(b);
		} catch (NoSuchAlgorithmException e) {
			System.out.println("this cannot happen.");
		}
	    return null;
	}

3.實現驗證簽名算法：當簽名接收者在接收到消息和簽名信息後，進行如下步驟計算：

實現該驗證算法的代碼如下：

public boolean verify(byte m[], BigInteger sig[]){
      	BigInteger w = sig[1].modInverse(q);
    	    BigInteger u1 = _hashInZq(m).multiply(w).mod(q);
      	BigInteger u2 = sig[0].multiply(w).mod(q);
     	BigInteger v = g.modPow(u1, p).multiply(y.modPow(u2, p)).mod(p).mod(q);
    	    System.out.println("v = " + v);
     	System.out.println("r = " + sig[0]);
     	return v.compareTo(sig[0]) == 0;
 }
4.實現main方法，在main方法中調用算法進行測試：注意，此處需要修改爲你的名字和學號。
public static void main(String args[]){
      	DSASign dsa = new DSASign();
      	dsa.initKeys();
     	String message = "My name is xxx, my student number is xxxxxx.";
     	System.out.println(message);
     	BigInteger sig[] = dsa.signature(message.getBytes());
       	System.out.println("DSASignture verifies result:" + dsa.verify(message.getBytes(),sig) );
}

【1-2】完整參考代碼。

import java.math.BigInteger;
import java.security.MessageDigest;
import java.security.NoSuchAlgorithmException;
import java.security.SecureRandom;
import java.util.Random;


public class DSASign {
    public BigInteger p,q,g;
    public BigInteger x,y;
    
    public BigInteger _randomInZq(){
    	BigInteger r= null;
    	do {
    		System.out.print(".");
    		r = new BigInteger(160, new SecureRandom());
    	}while(r.compareTo(q) >=0);
    	System.out.print(".");
    	return r;
    }
    
    public BigInteger _hashInZq(byte m[]){
    	MessageDigest md;
    	try {
    		md = MessageDigest.getInstance("SHA-1");
    		md.update(m);
    		byte b[] = new byte[17];
    		System.arraycopy(md.digest(), 0, b, 1, 16);
    		return new BigInteger(b);
    	}catch (NoSuchAlgorithmException e){
    		System.out.print("This cannot happen!");
    	}
    	return null;
    }
    
    public void initKeys(){
    	q = new BigInteger(160, 100, new SecureRandom());
    	do {
    		BigInteger t = new BigInteger(512, new SecureRandom());
    		p = t.multiply(q).add(BigInteger.ONE);
    		System.out.println("~");
    	}while(!p.isProbablePrime(100));
    	BigInteger h = _randomInZq();
    	g = h.modPow(p.subtract(BigInteger.ONE).divide(q), p);
    	x = _randomInZq();
    	y = g.modPow(x, p);
    	System.out.println("p : " + p);
    	System.out.println("q : " + q);
    	System.out.println("g : " + g);
    	System.out.println("x : " + x);
    	System.out.println("y : " + y);
    }
    
    public BigInteger[] signature(byte m[]){
    	BigInteger k = _randomInZq();
    	BigInteger sig[] = new BigInteger[2];
    	sig[0] = g.modPow(k, p).mod(q);
    	sig[1] = _hashInZq(m).add(x.multiply(sig[0])).mod(q)
    	.multiply(k.modInverse(q)).mod(q);
    	return sig;
    }
    public boolean verify(byte m[], BigInteger sig[]){
    	BigInteger w = sig[1].modInverse(q);
    	BigInteger u1 = _hashInZq(m).multiply(w).mod(q);
    	BigInteger u2 = sig[0].multiply(w).mod(q);
    	BigInteger v = g.modPow(u1, p).multiply(y.modPow(u2, p)).mod(p).mod(q);
    	System.out.println("v = " + v);
    	System.out.println("r = " + sig[0]);
    	return v.compareTo(sig[0]) == 0;
    }
    
    public static void main(String args[]){
    	DSASign dsa = new DSASign();
    	dsa.initKeys();
    	String message = "My name is xxx, my student number is xxxxxx.";
    	System.out.println(message);
    	BigInteger sig[] = dsa.signature(message.getBytes());
    	System.out.println("DSASignture verifies result:" + dsa.verify(message.getBytes(),sig) );
    }
    
}

【1-3】算法運行截圖

運行要求：運行算法，DSA簽名驗證結果應該爲true。

【1-4】注意事項：

DSA數字簽名算法主要依賴於整數有限域離散對數難題，素數必須足夠大，且至少包含一個大素數因子以抵抗Pohlig &Hellman算法的攻擊。一般都應採用信息的HASH值。DSA加密算法的安全性主要依賴於和，若選取不當則簽名容易僞造，應保證對於的大素數因子不可約。其安全性與RSA相比差不多。DSA數字簽名算法，它是另一種公開密鑰算法，它不能用作加密，只用作數字簽名（這就是何RSA的區別）。特別要注意的是，要深入地挖掘算法所隱藏的含義，這對我們理解算法和代碼實現極其重要。同時在代碼的實現過程中一定要細心地到底是模還是模，這關乎着驗證過程的正確性。