量子計算學習筆記：量子計算髮展史

之前介紹過，量子計算是一種遵循量子力學規律調控量子信息單元進行計算的新型計算模式。所以，首先應該認識量子力學發展開始。

量子力學的發展

        理想黑體可以吸收所有照射到它表面的電磁輻射，並將這些輻射轉化爲熱輻射，其光譜特徵僅與該黑體的溫度有關，與黑體的材質無關，黑體也是理想的發射體。1859 年， 古斯塔夫·基爾霍夫(GustavKirchhoff) 證明了黑體輻射發射能量 E 只取決於溫度 T 和 頻率 v ，即 E = J ( T,v )， 然而這個公式中的函數 J 卻成爲了一個物理挑戰 。

 

              圖 1古斯塔夫·基爾霍夫 和 黑體輻射（classical theory-經典理論， wavelength-波長，spectral radiance-光譜輻射）

 

        1879 年，約瑟夫·斯特凡(Josef Stefan)通過實驗提出，熱物體釋放的總能量與溫度的 四次方成正比。1884 年，路德維希·玻爾茲曼(Ludwig Boltzmann)對黑體輻射得出了同樣 的結論，由於這一結論基於熱力學和麥克斯韋電磁理論的理論，後被稱爲斯特凡-玻爾茲 曼（Stefan-Boltzmann）定律。

 

        1896 年，德國物理學家威廉·維恩（Wilhelm Wien）提出了基爾霍夫挑戰的解決方案。 儘管他的解決方案與實驗觀察結果非常接近，但是這個公式只有在短波（高頻）、溫度較 低時才與實驗結果相符，在長波區域完全不適用。

 

        1900 年，爲了解決威廉·維恩提出的維恩近似公式在長波範圍內偏差較大的問題，普朗克（Max Planck）應用玻爾茲曼（Boltzmann）的將連續能量分爲單元的技術，提出固定單元大小使之正比于振動頻率，這樣可以導出精確的黑體輻射光譜，量子化的概念就此誕生。（看普朗克的照片，不僅能力強，還人長得帥）

                               圖 2普朗克 和 量子化

       1901 年，裏奇和列維-西維塔（Levi-Civita,Tullio）出版了《絕對微分學》（Absolute differential calculus）。1869 年，克里斯托費爾(Christoffel)發現了“協變微分”，這讓裏奇將張量分析理論擴展到 n 維黎曼空間。裏奇和列維-西維塔（Levi-Civita,Tullio）的定義被 認爲是張量最一般的形式，這項工作並不是用量子理論來完成的，但正如經常發生的那樣，體現物理理論所必需的數學恰好在正確的時刻出現了。

 

          

                           圖3 張量分析

       1905 年，愛因斯坦（ Einstein）研究了光電效應（photoelectric effect）。光電效應是 在光的作用下，某些金屬或半導體釋放出電子。但是光的電磁理論給出的結果與實驗證 據不符，爲此愛因斯坦提出了光量子理論來解決這個難題。到 1906 年，愛因斯坦已經正確地推測出，能量的變化發生在量子材料振盪器的跳躍變化中，跳躍變化是 hν的倍數， 其中是 h 普朗克常數，ν是頻率。

          圖4 愛因斯坦

 

        1913 年，尼爾斯·波爾（Niels Henrik David Bohr）發表了一篇關於氫原子的革命性論文，他發現了光譜線的主要規律。阿瑟·康普頓（Arthur Compton）在 1923 年從靜止的 電子行爲導出了光子(光量子)散射的相對論運動學。

         1924 年玻色（SatyendraNath Bose）發表了一篇基礎論文，爲光子提出了不同的狀態， 他還提出光子的數量沒有守恆的概念。玻色假設這時不考慮粒子的統計獨立性，將粒子放入多個單元中，只需要談論單元的統計獨立性，時間證明，玻色的這些做法都是正確的。

 

         1924 年 11 月，德布羅意（Duc de Broglie）寫出了一篇題爲《量子理論的研究》的 博士論文。文中運用了兩個最亮眼的公式：E=hν和 E=mc2 。這都是愛因斯坦最著名關係式，前者對光子能量而言，後者對實物粒子能量而言。德布羅意（Duc de Broglie）把兩個公式綜合再作出假設，他認爲光量子的靜止質量不爲零，而像電子等一類實物粒 子則具有頻率的週期過程，所以在論文中他得出一個石破天驚的結論——任何實物微粒都伴隨着一種波動，這種波稱爲相位波，後人也稱之爲物質波或德布羅意波。

                              圖 5 德布羅意 和德布羅意波

 

          1926 年薛定諤（Schrödinger）發表了一篇論文，給出了氫原子的方程式，並宣告了波動力學的誕生，同時引入了與每個動力學變量相關的算符。

          繼德布羅意（Duc de Broglie）之後，從另一個方面對微觀物理理論作出根本性突破的是直接受到玻爾（David Bohr）影響的 23 歲的海森堡（Heisenberg）。1924 年他前往哥 本哈根研究量子論，1925 年發表了一篇有歷史意義的論文《對於一些運動學和力學關係的量子論的重新解釋》。

        海森堡（Heisenberg）認爲他當時是受了愛因斯坦建立狹義相對論時否定牛頓絕對時間概念的啓發。他拋棄了玻爾的電子軌道概念及其有關的古典運動學的量，取而代之以可觀察到的輻射頻率和強度的這些光學量，同時把玻爾的對應原理加以擴充，使它不是用來猜測量子論某一特殊問題的解，而是用來猜測新力學理論的數學方案。這套新的數學方案，在當時一般物理學家看來是非常陌生的，海森堡（Heisenberg）的老師玻恩（Bonn） 發現，海森堡（Heisenberg）創造的這套數學就是矩陣論，是數學家在 70 多年前就已創造出了的，它是普通數的一種推廣。它的最奇特的特徵是：“兩個矩陣的相乘是不可對易的，即 pq≠qp”。爲了進一步搞清楚海森堡論文所揭示的數學問題，玻恩找約爾丹合作。 當年 9 月他們寫了一篇長論文，用數學的矩陣方法，把海森堡的思想發展成爲量子力學的系統理論。這就是矩陣力學，也通稱爲量子力學。

         1925 年 7 月，海森堡應邀到劍橋講學，在卡文迪許（Cavendish）實驗室作了一系列 報告，最後介紹了他的量子力學新思想；但這些新思想當時並未引起狄拉克注意。8～9 月間，狄拉克從他的導師福勒處讀到海森堡第一篇量子力學論文的校樣，開始時他不感 興趣，覺得太煩瑣了，把它擱在一邊；十來天后再去仔細讀一下，”突然認識到，它對我們所關切的困難，提供了全部解決的線索”，可是狄拉克不滿足於海森堡的表達方式，試圖使它同 19 世紀發展起來的古典力學的推廣形式相適應。

        1925 年 11 月 7 日他完成論文《量子力學的基本方程》，使用了一種比矩陣更爲方便和普適的數學工具——法國數學物理學家泊松於 1809 年爲研究行星運動而創造的“泊松 括號”。它是古典力學中最有力的分析工具之一，能用極其簡單的形式把古典力學的基本方程表示出來，狄拉克藉助這種工具，應用對應原理，輕而易舉地把古典方程改造成爲量子力學方程。兩個月後，他發佈了第二篇論文，用他的方法來處理氫原子；在這篇論 文中，他把量子力學變數稱爲“q 數”，而把古典物理學的變數稱爲“c 數”，c 數是可對易的；q 數則不可對易，也不能比較大小。但爲了得到可以同實驗相比較的結果，必須設法用 c 數來表示 q 數。不久，他又發表題爲《量子代數學》的論文，使量子力學成爲一個概念上自主的和邏輯上一致的（即自洽的）理論體系。

       就在海森堡的量子力學新思想通過玻恩和狄拉克的工作得到重大進展的時候，德布羅意的物質波理論也通過薛定諤的工作而取得輝煌成就。愛因斯坦 1925 年 2 月發表的關 於量子統計理論的論文引起了薛定諤對德布羅意思想的極大興趣，當年 12 月他寫了一篇 題爲《關於愛因斯坦的氣體理論》的論文中講到：“按照德布羅意—愛因斯坦運動粒子的 波動理論，粒子不過是波動背景上的一種‘波峯’而已。”當時他試圖把德布羅意波推廣到束縛粒子上，得到一個巧妙的解。他隨即把這方法用於氫原子中的電子，並且充分考慮到電子運動的相對論性力學，但結果同實驗不一致，他很失望，斷定他的方法不好，於是束之高閣。事實上，薛定諤最初的相對論性波動方程是正確的，不過它所描述的是沒有自旋的粒子，而電子的自旋剛於 1925 年 11 月發現，對它的意義還不很瞭解。

 

                                

                                              圖6 粒子的自旋

        薛定諤受到挫折後不久，放棄了相對論的考慮，重新用他原來的方法來處理氫原子的電子問題，結果同實驗非常接近，受到這一結果的鼓舞，1926 年他一連發表了 6 篇論文，從 1 月到 6 月的 4 篇都用一個題目：《作爲本徵值問題的量子化》。這些論文大大發展了德布羅意的物質波思想，加深了對微觀客體的波粒二象性的理解，爲數學上解決原子物理學、核物理學、固體物理學和分子物理學問題提供了一種方便而適用的基礎，波動力學就這樣誕生了。

 

  

 

       現在，在同一微觀領域中，出現了兩種同樣有效但形式上完全不同的物理理論。一 方面是海森堡的矩陣力學，它在數學運算中所碰到的是不可對易的量和以前罕見的計算規則，並且蔑視任何圖象解釋，它是一種代數方法，從所觀察到光譜線的分立性着手， 強調不連續性，儘管它棄絕空間和時間中的古典描述，但是從根本上說來，它的基本概念還是粒子；另一方面是薛定諤的波動力學，它所依據的則是人們所熟悉的微分方程這種數學工具，它類似於古典的流體力學，並且提供了一種容易形象化的表示，它是一種分析方法，從推廣古典的運動定律着手，強調連續性，而且它的基本概念是波動。

        1926 年 3 月，薛定諤發現，波動力學和矩陣力學在數學上是完全等價的，同時，泡利等人也獨立地發現了這種等價性。由於這兩種理論所研究的對象是一樣的，所得到的結果又是完全一致的，只不過着眼點和處理方法各不相同，因此，這兩種理論就通稱爲量子力學，薛定諤波動方程通常作爲量子力學的基本方程，這個方程在微觀物理學中的地位就像牛頓運動定律在古典物理學中的地位一樣。

量子計算的發展

       類似經典計算之於宏觀物理的關係，量子計算同樣也與微觀物理有着千絲萬縷的聯繫。在微觀物理中，量子力學衍生了量子信息科學。量子信息科學是以量子力學爲基礎，把量子系統“狀態”所帶的物理信息，進行信息編碼、計算和傳輸的全新技術。在量子信息科學中，量子比特（qubit）是其信息載體，對應經典信息裏的 0 和 1，量子比特兩個可能的狀態一般表示爲|0>和|1>。在二位復向量空間中，|0>和|1>作爲單位向量構成了這個向量空間 的一 組標準 正交基 ，量 子比特 的狀態 是用一 個疊 加態表 示的，|> 如 =a|0>+|1>b|1 >，，而且測量結果爲|0 >態的概率是ܽ，得到|1>態的概率是ܾ。 這說明一個量子比特能夠處於既不是|0 >又不是|1> 的狀態上，而是處於和的一個線性組合的所謂中間狀態之上。經典信息可表示爲 0110010110…，而量子信息可表示爲

       一個經典的二進制存儲器只能存一個數：要麼存 0，要麼存 1；但一個二進制量子存儲器卻可以同時存儲 0 和 1 這兩個數。兩個經典二進制存儲器只能存儲以下四個數中 的一個數: 00，01，10 或 11，倘若使用兩個二進制量子存儲器，則以上四個數可以同時被存儲下來。按此規律，推廣到 N 個二進制存儲器的情況，理論上，n 個量子存儲器與n 個經典存儲器分別能夠存2個數和 1 個數。

         由此可見，量子存儲器的存儲能力是呈指數增長的，它與經典存儲器相比，具有更強大的存儲數據的能力，尤其是當 n 很大時(如 n=250 )，量子存儲器能夠存儲的數據量比宇宙中所有原子的數目還要多[5]。量子信息技術內容廣泛，由於它是量子力學與信息 科學形成的一個交叉學科，所以它有很多分支，最主要的兩支爲量子通信和量子計算。量子通信主要研究的是量子介質的信息傳遞功能進行通信的一種技術，而量子計算則主要研究量子計算機和適合於量子計算機的量子算法。由於這個量子計算分支具有巨大的潛在應用價值和重大的科學意義，獲得了世界各國的廣泛關注和研究。

 

 

       對於量子計算的真正發展，業界普遍認爲源自 20 世紀最具豐富多彩的科學家，諾貝爾獎獲得者 Richard Feynman（費曼） 在 1982 年一次公開演講中提出的兩個問題：

 

                                                 

                                            圖 8 理查德·費曼（也是個帥小夥）

 

（1）經典計算機是否能夠有效地模擬量子系統？  

       雖然在量子理論中，仍用微分方程來描述量子系統的演化，但變量的數目卻遠遠多於經典物理系統。所以 Richard Feynman 針對這個問題的結論是：不可能，因爲目前沒有任何可行的方法，可以求解出這麼多變量的微分方程。

（2）如果放棄經典的圖靈機模型，是否可以做得更好？

       Richard Feynman 提出如果拓展一下計算機的工作方式，不使用邏輯門來建造計算機，而是一些其他的東西，比如分子和原子；如果使用這些量子材料，它們具有非常奇異的性質，尤其是波粒二象性，是否能建造出模擬量子系統的計算機？於是他提出了這 個問題並做了一些驗證性實驗，然後他推測，這個想法也許可以實現。由此，基於量子 力學的新型計算機的研究被提上了科學發展的歷程。

       此後，計算機科學家們一直在努力攻克這一艱鉅挑戰。伴隨時代發展的趨勢，在 20世紀 90 年代，量子計算機的算法發展得到了巨大的進步：

       1992 年 Deutsch 和 Jozsa 提出了 D-J 量子算法，開啓瞭如今量子計算飛速發展的大幕。

       1994 年 Peter Shor 提出了 Shor 算法，這一算法在大數分解方面比目前已知的最有效的經典質因數分解算法快得多，因此對 RSA 加密極具威脅性，該算法帶來巨大影響力的同時也進一步堅定了科學家們發展量子計算機的決心。

       1996 年 Lov Grover 提出了 Grover 量子搜索算法，該算法被公認爲繼 Shor 算法後的第二大算法。

       1998 年 Bernhard Omer 提出量子計算編程語言，拉開了量子計算機可編程的帷幕。

       2009 年 MIT 三位科學家聯合開發了一種求解線性系統的 HHL 量子算法。衆所周知， 線性系統是很多科學家和工程領域的核心，由於 HHL 算法在特定條件下實現了相較於經典算法有指數加速效果，這是未來能夠在機器學習，人工智能科技得以突破的關鍵性技術。

       自 2010 年以後，在量子計算軟硬件方面各大研究公司均有不同程度的突破。

       2013 年加拿大 D-Wave 系統公司發佈了 512Q 的量子計算設備。

       2016 年，IBM 發佈了 6 量子比特的可編程量子計算機。

       2018 年初 Intel 和 Google 分別測試了 49 位和 72 位量子芯片。

       2019 年 1 月，IBM 發佈了世界上第一臺獨立的量子計算機 IBM Q System One。