關於無類型限制的lambda演算
在閱讀這篇博文之前，你最好已經閱讀過A Tutorial Introduction to the Lambda Calculus (Raul Rojas)
在接觸Haskell幾個月之後，才發覺Haskell不過是一個實現pattern match比較方便的工具，真正值得深入學習不僅有Haskell的實現和函數式編程的思想，還包括如下的內在理論知識：lambda演算，圖靈機，語言和文法，符號系統，類型系統等等（目前還沒有對這些內容進行系統學習，所以不能保證列出的順序是正確的學習路線）。在這其中最基礎的就是lambda演算。
lambda演算其實分成兩派：帶類型系統的和不帶類型系統的。前者即聲明出來的函數均有一個有限的、非遞歸的類型，主要用於程序語言理論，這裏暫時不介紹了。後者是下文談論的重點。
不帶類型系統的lambda演算，理論框架是這麼搭的：
- 首先，通過類似文法定義的方式定義了函數的概念，以及針對其形式而自然產生的一些問題進行了說明（比如自由變量和約束變量）。
- 基於函數定義了一些概念，證明這些概念可以基於函數進行定義。比如T/F/有關運算，自然數集/有關運算，等等。
（不帶類型系統的）lambda演算和抽象代數很像。
- 抽象代數是從集合出發，首先不加定義地給出了元素、集合、屬於的概念，然後根據這幾個概念提出新的定義（比如關係->運算->代數系統），從而構建整個抽象代數的理論體系，使很多（在數學中）有用的概念具有標準化定義。
- lambda演算是先通過類似文法產生式的方式給出了函數的概念，然後提出了行爲和現實概念類似的函數，比如用
\x -> \y -> x表示True.這些函數的行爲與現實概念的行爲產生了對應（比如用函數定義的自然數集也符合皮亞諾公理），從而可以把一個很大的理論體系建立在lambda演算這個概念上。
數學裏的定義對應CS裏的記號（notation），對於一個記號，只要描述清楚他的性質，就相當於把這個記號定義了出來。lambda演算的目的就是將T，F，與或非，0
1，後繼前驅加法乘法這些記號綁定到一些specially designed的函數上，使得這些記號仍然具有我們所熟悉的特性。
爲什麼非得要強調不帶類型系統的lambda演算？
因爲不帶類型系統會讓lambda演算具有更強大的描述能力。比如Y組合子的類型（如果寫得出來的話）是t -> t1 -> ... -> t1，或者t滿足t = t -> t1，這個類型不是有限的，從而不能在一個類型系統中存在，但是Y組合子可以在不帶類型系統的lambda演算中定義出來。
我（可能）會在近期的博客中給出A Tutorial Introduction to the Lambda Calculus (Raul Rojas)的讀書筆記和習題解答。