作者：郭龍先，黃永
兩千多年來，數學家們一直試圖從少數公理出發，根據明確給出的演繹規則推導出其他數學定理，從而把整個數學構造成爲一個嚴密的演繹大廈，然後用某種程序和方法徹底解決數學體系的可靠性問題。
19世紀末，集合已成爲最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來,可是羅素在集合論中發現了一個深刻的悖論，頓時使數學的理論基礎發生動搖，集合論中爲什麼會產生矛盾？這是一個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇,希爾伯特寫道：“單靠分析還不能使我們最深入地洞察無限的本性，這種洞察只有通過一門和一般的哲學思考方法相近，而又被設計得對有關無限的整套問題從新的方面來加以說明的學科才能得到。
數學哲學的基本目標是解釋數學，並由此說明數學在整個理智事業中的地位。正是對於無限理論的不同看法，導致了數學家的分裂。從1900到1930年，許多數學家捲入了關於數學哲學基礎的爭論,由於所持的基本觀點不同，最終形成了三個流派，即邏輯主義、直覺主義和形式主義。
霍華德·伊夫斯說：“數學哲學本質上就是一種嘗試的再構造；對歷史積累的無秩序的一堆數學知識，給予一定意義或秩序”。雖然三大學派持續了半個世紀之久的思想交鋒，隨着哥德爾不完備定理的誕生而日漸沉寂，但這些引領數學潮流的巨人超羣絕倫的智慧，殫精竭慮的運思傑作，無論對錯都已成爲理解現代數學的寶貴遺產，他們深邃的思想方法和執着的探索精神尤其值得後人學習與借鑑。
從邏輯中展開數學——邏輯主義學派的無限觀和思想方法
現代邏輯創始於19世紀末葉，其發展動力來自於數學中的公理化運動，導致20世紀邏輯研究的數學化,由此發展出來的邏輯被稱爲“數理邏輯”，開創了邏輯學史上繼古希臘邏輯、歐洲中世紀邏輯之後的第三個高峯，對現代數學、哲學、語言學和計算機科學的發展均產生了極爲深遠的影響。
數學哲學中，邏輯主義學派的核心人物是羅素與懷特海，其奠基者則是德國數學家弗雷格。他認爲分析的算術化最後必然建立在自然數理論之上，而對自然數理論的探討有必要研究數的概念以及正整數命題的性質。他認爲“數是什麼？”是一個最根本的問題，其數學哲學基於三個主要原則：第一，反對在數學基礎上的經驗主義，否認數學來源的經驗基礎，強調數學真理的先天性；第二，數學真理是客觀的，這種客觀性基於數學的非經驗基礎,客觀性是思想的必要條件；第三，一切數學最終都可以劃歸爲邏輯，數學概念可以定義爲邏輯普遍要求的概念，數學公理可以從邏輯原則中得到證明。
數學劃歸爲邏輯的觀念，還應追溯到萊布尼茲,他關於數理邏輯的基本設想是：一，所有概念可以還原爲少數的原始概念，這些原始概念構成“思想的字母表”；二，複合概念可以由原始概念通過邏輯乘法得出；三，原始概念彼此之間是沒有矛盾的；四，任何命題都是謂項性的；五，任何真的肯定命題都是分析命題,萊布尼茲認爲：“數學真理就是邏輯真理。”他把邏輯學想象成一種普遍的科學，使用精密的符號體系，嚴格的邏輯推理，就可消除人類自然語言中固有的含糊性。他說，我們要造成這樣一個結果，使所有推理的錯誤都只成爲計算的錯誤，當爭論發生的時候，只需坐下來說“讓我們來計算一下吧！”這種邏輯先於一切科學的觀點，被公認爲邏輯主義思想的先河。
萊布尼茲企圖構造數理邏輯的宏偉抱負，當時並沒有取得實質性的進展,直到19世紀英國數學家布爾創立了“布爾代數”，德國數學家弗雷格發展了命題演算和謂詞演算，才建立了第一個嚴格的邏輯演算系統,意大利數學家皮亞諾以命題演算和謂詞演算研究數學，部分實現了萊布尼茲的思想，邁出了關鍵的一步。弗雷格在《算術基礎》一書中得出的結論是“算術”僅僅是一種擴展形成的邏輯，每個算術句子就會是一條邏輯定律，然而是一條導出的定律。這一觀點後來被羅素作爲邏輯主義的基本主張廣爲傳播。
羅素認爲，應當以一些已被普遍承認了的邏輯的前提出發，再經過演繹而達到那些明顯的屬於數學的結果。他與懷特海完成於1913年的《數學原理》是邏輯學派的經典鉅著,他們宣稱全部數學可以從一個邏輯公理系統嚴格地推導出來，從而使數學建立在邏輯基礎之上。卡爾納普認爲數學基礎的最重要問題之一是數學與邏輯的關係,他將邏輯主義的基本內容概括爲：
1. 數學概念能通過明確的定義從邏輯概念中導出。
2. 數學定理能通過純粹的邏輯演繹從邏輯公理中推導出來。
雖然在《數學原理》中，羅素與懷特海對怎樣從邏輯導出數學作了詳盡無遺的推演，但是許多著名的數學家卻並不接受“數學就是邏輯”的觀點，也不同意“一切數學思維都是邏輯思維”的說法。後來的研究者一致認爲，若要利用邏輯推導出全部數學，至少要增加兩條非邏輯公理，其一是無窮公理，須承認宇宙間有無窮數目的個體，否則連最簡單的自然數也無法構成；其二是選擇公理,如果沒有這一公理，無窮基數的乘法運算就無法得到定義，數學中許多關鍵性定理也無法推導。
比較公認的看法是羅素並沒有將數學化歸爲邏輯，而是化歸爲集合論,從邏輯過渡到數學，必須發展集合論，而集合論中存在悖論，缺乏兼容性。爲此，羅素提出限制“惡性循環”的原則，建立了分支類型論的方案。他說：“凡是牽涉一集合的全體者，它本身不能是該集合的一分子；反之，如果假定某一集體有一總體，它便將含有一個元素（只能由該總體才能定義的元素），那麼該集體必沒有總體。”在此基礎上提出的“分支類型論”，就是禁止人們自己徵引自己或自己涉及自己。這一思想的本質簡單明瞭，用集合論的術語來說，個體元素的層次爲0，個體的一個集合層次爲1，集合的集合爲第2層次，依此類推。層次理論的應用，確實避免了當時已知的數學悖論,但其理論展開卻異常繁雜。按照該理論，無理數由有理數定義，而有理數可用正整數定義，無理數比有理數具有更高的層次，它們都比整數的層次高，導致實數系由不同層次的成分構成，因而不能得出關於所有實數的定理，必須對每個層次的數分別陳述。這樣，即使是對簡單明白的自然數定理的推導，也繁瑣得讓人望而生畏。
更爲不幸的是，從分支類型論也不能推出整個數學，對數學歸納原理的推導有問題，對實數論的推導問題更多,爲了避免分支類型論帶來的複雜性，羅素和懷特海引進了“可化歸公理”，即任何較高層次的一個命題與一個層次爲0的命題等價,但可化歸公理的精神與禁止惡性循環的原則相沖突，對此形成了兩種不同的意見和處理方式：或者不用可化歸公理而保留分支類型論，其代價是無法推出全部數學；或者保留可化歸公理，直接採用簡單類型論，雖然可推導出全部數學，但取消禁止惡性循環原則，便等於放棄阻止悖論產生的防火牆。
邏輯主義學派不僅承認康托爾理論，而且還堅持無限性研究對象在數學領域中的合理性。因此，既要確認全部數學的有效性，就勢必要確認實無限觀點下的無限集理論,正如王浩所說"由於要藉助嚴格的邏輯概念來給出“無限”的一個充分根據這一困難，才使得羅素關於數學與邏輯相等價的理論成爲可疑。深入的研究表明，邏輯主義自身確實存在着難以克服的理論困境,懷特海在1939年的一次演講中已表示放棄邏輯主義的觀點。羅素也說“我在數學裏總是希望得到的那種壯麗的確定性消失在不知所措的困惑之中了。”
儘管邏輯主義的主張未能完全實現，但其研究綱領的價值和意義是不容忽視的。他們成功地把古典數學納入一個統一的公理系統，使之能從幾個邏輯概念和公理出發，再加上無窮公理就能推出集合論、一般算術和大部分數學來
存在就是被構造——直覺主義學派的無限觀及思想方法
直覺主義學派認爲邏輯不在數學之先，數學的概念和原則不能歸結爲邏輯；邏輯是數學活動的結果，邏輯需要數學作爲它的基本構造,堅定的數學直覺主義者海丁說"當你們通過公理和演繹進行思維時，我們則藉助於可信性進行思維，這就是全部區別”。
直覺主義學派構造數學的基礎並非集合論，而是自然數論,這就是海丁所說的"數學開始於自然數及自然數相等概念形成之後。”直覺主義認同自然數來源於布勞威爾所說的“原始直覺”或“對象對偶直覺”。所謂對象對偶直覺是人皆有之的一種能力，即某一時刻集中注意於某一對象，緊接着又集中注意於另一對象，這就形成了一個原始對偶，以（1，2）來表示它,“存在即是被構造”是直覺主義數學學派的一個基本觀點,他們主張只有建立在這種原始直覺和可構造性之上的數學纔是可信的，因爲，對於思想來說是如此直接，其結果又是如此清楚，以致不再需要任何別的什麼基礎。
直覺主義關於無限的基本思想可以追溯到亞里士多德，他是歷史上第一位反對實無窮，只承認潛無窮的哲學家。直覺主義學派堅持潛無限論的觀點，不承認已完成的實無窮體系。他們質疑無限集的可構造性,按照能行性的要求，該學派也否定，自然數全體的概念，因爲自然數只能是永遠處於不斷被構造和生成之中，而非完成了的無窮實體。克羅內克就始終不承認無限集合的合理性，他流傳甚廣的名言是"上帝創造了自然數，別的都是人造的”。他主張在自然數的基礎上構造整個數學，如分數，可以用整數定義出來，這樣定義的分數被認爲是一種方便的寫法,克羅內克也因此被稱爲構造主義者,可構造的要義是"必須在有限個步驟之內，將結論確定到任何需要的精度,如藉助於的一個無窮級數表示式，可將其計算到小數點後的任意位，這是構造主義者可以接受的。
克羅內克並非完全否認無理數的存在，而是反對那些不能提供計算程序的證明,他還計劃將數學算術化，並從數學中清除一切“非構造”的概念。龐加萊亦持潛無窮的觀點，他主張人類對自然數的認識是源於最基本的直覺，並公開申明數學的確定性僅限於有限論證的嚴格範圍之內，而集合論所包含的僅僅是矛盾和無意義的概念,他認爲集合論悖論已經證明了康托爾的理論是侵害數學機體的傳染性病毒，必除之而後快。
荷蘭數學家布勞威爾堪稱直覺主義學派的集大成者,他認爲除自然數外，加法、乘法和數學歸納法在直覺上也是清晰的，堅信數學只能建立在可構造性的基礎上，並反對一切以實無限爲前提的數學定義，以及非構造性論證。布勞威爾認爲無窮是存在的，因爲對任一有限集，人們總可以找到一個比它更大的有窮集合。直覺主義者特別強調數學證明中的能行性問題，堅決主張沒有能行性便沒有存在性,如選擇公理斷定：給定一個集合的集合，如果它的各分子集是互相排斥的，並且其中沒有一個是空集，那麼至少存在這樣一個集合，它與給定集合的各個分子集都恰好有一個公共元素。對此，波萊爾認爲當給定的子集合有無窮多時，如果不能從內涵方面給出選擇的標準或辦法，要具體地做出無窮多個選擇是不可能的。
實現選擇公理給出的結論，甚至需要進行不可數的無窮個選擇，這對於直觀來講是不可理解的。確實，選擇公理做出了與無窮有關的斷定，只有假定此公理成立，才能肯定選擇集合的存在，這對數學的展開是必不可少的。布勞威爾還反對在數學證明中使用排中律,他認爲排中律和其他經典邏輯是從有窮集中抽象出來的，如果無條件地承認排中律，就等於承認所有命題總是能構造性地證其爲真或不真，但這是沒有可靠根據的,對於無限集而言還有第三種情況（不假），即存在這樣的命題：既不能證明其爲真也不可能證明其爲假,因此在他們看來從A推出矛盾，從而肯定非A成立的反證法是可以接受的，但不承認由非A推出並非A，從而斷定A成立的雙重否定消去的推理,因此，夏皮羅直截了當地說"直覺主義是指那些對排中律提出異議的數學哲學的一般術語”。
直覺主義還嚴格區分了存在性證明與構造性證明。在經典數學中，存在性證明只要求保證使命題成立的對象存在即可，至於能否找到這樣的對象則可存而不論。但從構造的角度來看，就要求找到使命題成立的具體對象纔算完成證明,如歐幾里得關於質數有無窮多的證明，雖然避免了運用排中律和間接證法，但按照直覺主義者對可構造性的要求來看，仍然不夠滿意,因爲它並沒有提供確定已知質數之外的質數的方法,但他們認爲素數的定義是構造性的，因爲可以用有限的步驟確定一個數是否爲素數,對於存在性證明的合法性。
近代數學史上曾有過激烈的爭論,在初等數論中，大多數非構造性的存在證明都可以換爲構造性的證明，但在數學分析及其他更高等的部分裏，非直覺主義式的定義及證明卻隨處可見,例如在戴德金的分割表示中，實數是以有理數的無窮集來定義的，這已經涉及無窮整體和排中律了,希爾伯特堅持認爲達到思想的簡潔和經濟，就是存在性證明生存的理由。他說："純粹的存在性證明之價值恰恰在於，通過它們就可以不必去考慮個別的構造，而且各種不同的構造包括於同一個基本思想之下，使得對證明來說是最本質的東西清楚地突顯出來。
直覺主義者所堅持的觀點和方法，就其出發點而言，是希望藉此排除數學理論中出現的悖論,但是由於限制太多隻承認一部分最保險的數學，從而走向了另一極端。20世紀30年代，由於哥德爾的工作，人們開始重視直覺主義,數學家們紛紛嘗試用構造法建立實數理論、數學分析以至全部數學，得出不少重要結果,構造性數學已成爲與現代計算機科學密切相關的重要學科
形式公理與兼容性——希爾伯特規劃與形式主義學派
從一組公理推導出一系列定理，這樣形成的演繹體系叫作公理系統。皮亞諾斷言一切數學都可以用符號加以形式地表述,從歐幾里得《幾何原本》中的實質性公理系統(對象——公理——演繹)，到希爾伯特《幾何基礎》中的形式化公理系統，再到現代純形式的ZFC公理系統，數學符號加規則這種奇特的理論形式甚至引發了諸多的哲學反思與爭論。
數學家J·托馬於1898年明確提出"形式主義”的名稱,他說："對形式主義者而言，算術是一種稱之爲空記號的遊戲,這意味它們除了爲一定的組合規則“遊戲規則”產生的行動所指定而外，沒有其他內容(在演算的遊戲中)……算術的規則系統是這樣的一個系統，使得藉助於簡單公理，數就能與各種各樣的感知發生關係，從而就能對我們的自然知識做出重要貢獻……形式的立場可以使我們掃除一切形而上學的困難，這就是它提供給我們的一個優點。把數學比喻成諸如象棋之類的遊戲，是關於形式主義的一種流行說法,這其中居於主導地位的只是一些需要遵循的規則，數學家僅僅關心數字在"數學遊戲”中的角色,馮·諾依曼、魯賓遜和柯恩等人都是這一論調的支持者,激進的遊戲論形式主義者甚至認爲數學的公理系統或邏輯的公理系統，基本概念都是沒有意義的，公理也只是一行行的符號，無所謂真假，只要能夠證明該公理系統是兼容的，不互相矛盾，便代表了某一方面的真理。
他們之所以把數學看成沒有意義的公式，是想要證明數學理論的兼容性與完備性,遊戲論者卻因爲無法回答數學的廣泛用途及其驚人的力量而受到普遍質疑,反對者提出的一個經典難題是、象棋作爲一種有趣的遊戲，其規則雖然對棋手是有用的，但爲什麼人類只有利用數學規則而不是象棋規則，才能把一顆衛星發射到月球上去？弗雷格就強調"把算術從遊戲提升到科學層次的只是可應用性”，形式主義凸顯了數學的一個方面，但可能忽略或低估了其他方面的一些重要內容,歷史上被冠以"形式主義，名號的數學哲學觀點有好幾種不同的流派,正如夏皮羅所言："儘管這些哲學在一些重要的方向上彼此對立，但形式主義的反對者和維護者都有時候會把它們混在一起”。
在數學基礎的研究中，希爾伯特通常被看成是形式主義的奠基人,羅素和布勞威爾都稱其爲形式主義的代表人物。希爾伯特的最終目標是要構造出一個相容的，完備的，可判定的形式化公理系統,就邏輯與數學的關係而言"希爾伯特認爲任何企圖把數學劃歸爲邏輯的努力都是不可能成功的。他指出：“如果我們深入考察那就會承認，在我們敘述傳統的邏輯定理時，即已用到某些基本的算術概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某種程度上用到了數的概念,於是我們發現自己陷入了某種循環。
面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認爲經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣。”
希爾伯特認爲只要將數學形式化"構成形式系統"然後用一種有限性的方法，就能證明各個形式系統的兼容性，從而導出全部數學的無矛盾性。希爾伯特的雄心勃勃數學基礎研究規劃最終被哥德爾的不完備性定理所否定，但他爲此而創立的證明論卻開闢了一個數理邏輯的新領域。
智者的棒喝——哥德爾不完備性定理對數學基礎的衝擊
受希爾伯特規劃的影響，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，1931年發表《PM及有關係統中的形式不可判定命題》一文，論證了兩個著名的定理：1. 一個包括初等數論的形式系統P，如果是一致的那麼就是不完備的（第一不完備性定理）；2. 如果這樣的系統是一致的，那麼其一致性在本系統中不可證（第二不完備性定理）。哥德爾的本意是要實現希爾伯特規劃。他試圖首先證明算術理論的一致性，然後建立分析“實數的”理論的一致性。但最終結果卻剛好相反，徹底粉碎了希爾伯特的夢想。
哥德爾定理的重要意義在於向世人澄清了“真”與“可證”概念的本質區別,可證的一定是真的，但真的不一定可證。根據哥德爾定理，任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題。用原有的公理組不能判定其真假,如果將這個不可判定命題作爲公理加入，又將出現新的不可判定命題。如此看來，可證命題和終極數學真理之間將始終隔着無窮遠的距離！
哥德爾一生在科學上取得了輝煌的成就，他證明了一階謂詞演算的完全性算術形式系統的不完全性，連續統假設和集合論公理的相對協調性等三大難題，被公認爲人類歷史上繼亞里士多德和萊布尼茲之後最偉大的邏輯學家。他獨闢蹊徑的研究成果猶如智者的棒喝，斷然終結了數學家追求絕對可靠的數學基礎的幻想"但也使人們對無窮的認識達到了一個更高的境界。他說：“數學不僅是不完全的，還是不可完全的。”
經驗主義者認爲，大半個世紀的數學基礎研究表明，企圖沿着形式化道路，藉助證明論的方法在形式系統內部解決數學的真理性問題是不可能的。數學基礎的問題應該回到經驗中去解決。
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