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爲了讓非數學專業的人能夠看下去，採用了大量描述性語言，所以嚴謹是談不上的，只能算瞎扯。
現代數學基礎有三大分支：分析，代數和幾何。這篇帖子以儘量通俗的白話介紹數學分析。數學分析是現代數學的第一座高峯。
最後爲了說明在數學中，證明解的存在性比如何計算解本身要重要得多，用了兩個理論經濟學中著名的存在性定理（阿羅的一般均衡存在性定理和阿羅的公平不可能存在定理）爲例子來說明數學家認識世界和理解問題的思維方式，以及存在性的重要性：阿羅的一般均衡存在性，奠定了整個微觀經濟學的邏輯基礎--微觀經濟學因此成爲科學而不是幻想或民科；阿羅的公平不可能存在定理，摧毀了西方經濟學界上百年努力發展，並是整個應用經濟學三大支柱之一的福利經濟學的邏輯基礎，使其一切理論成果和政策結論成爲泡影。
微積分的基本思想是以直爲曲，也即用直線來逼近曲線，在中國古代，劉徽，祖沖之計算圓周率用的割圓術就是典型的微積分方法，三國時期的劉徽在他的割圓術中提到的“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣。”魏晉南北朝時期的祖沖之說的更簡單：以曲爲直逼近。在古代巴比倫，希臘都用這種方法來處理曲線計算問題，有史可查的記錄是公元前三世紀，古希臘的阿基米德計算拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積時，就用了直線逼近。
所以在牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）發明微積分之前，很多實際上的微積分的工具已經開始運用在科學和工程之中。例如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都用這種以直爲曲的逼近方法計算工程問題。
但是微積分爲什麼說是十七世紀牛頓和萊布尼茨發明的呢，我覺得主要是兩點：第一點是引入了函數概念來描繪變量；第二點是發明了一套符號體系，可以計算各種初等函數微分（初等函數簡單說就是多項式函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數，以及由這些函數經過有限次四則運算或函數的複合而得的所有函數）。
牛頓和萊布尼茨發明的最原始的微積分可以解決以下問題：
求即時速度的問題；求曲線的切線；求函數的最大值和最小值；求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力等等。
牛頓和萊布尼茲最本質的貢獻是把求切線問題（微分學的中心問題）和求積問題（積分學的中心問題）變成一個問題。這就是著名的牛頓--萊布尼茲公式。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的基本思想是以曲爲直，逐步逼近，其中創造是引入了無窮小量Δ，因此微積分也稱爲無窮小分析。
不過他們兩個有區別，牛頓從運動角度入手，萊布尼茨從幾何角度路入手。
牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年纔出版，它在這本書裏指出，變量是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認爲的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程（積分法）。
萊布尼茨1684年發表世界上最早的微積分文章：《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》，創立了現代的微分符號和基本微分法則（遠遠優於牛頓的符號，現在使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨創造的），1686年，萊布尼茨發表了人類第一篇積分學的文章。
微積分的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解。例如牛頓應用微積分及微分方程從萬有引力定律推導出了開普勒行星運動三定律。
微積分也極大的推動天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學等的發展。
由於爭搶微積分發明權，歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立，英國數學陷入牛頓的“流數術”中停步不前，英國數學後來比歐洲整整落後了一百年。
雖然原始微積分是一種強大計算工具，但是從邏輯上講，牛頓和萊布尼茨的工作都是很不完善的，他們爲了計算微分，引入的在無窮和無窮小量概念，其實沒有說清楚是個什麼東西，例如牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨乾脆迴避解釋。無窮小的邏輯基礎存在的問題導致了第二次數學危機的產生（這個在介紹現代數學基礎的帖子裏已經介紹了，不重複）。
19世紀初，法國的柯西對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來德國的魏爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成爲了微積分的堅定基礎。才使微積分在邏輯上站住腳，而不僅僅是一種計算工具。
微積分的基礎概念是函數和極限。前者是微積分的工作對象，後者是微積分的基本工作技巧。
不過函數的思想卻很早，至少在公元前就有了：因果關係，也即有因必有果，一個因對應一個或多個果，或者一個果對應多個因。
這在中國《易經》中已經有成熟的體現（其實《易經》就是64變量的函數論），正因爲有了這種因果關係概念，中國遠古時代我們先人就有了成熟精妙的辯證法（比黑格爾的辯證法高級多了，精細多了）。西方辯證法也是在有了成熟的函數概念後才成熟的。恩格斯就說過：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數，有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學”。
不過近代函數概念直接來源於代數方程中對不定方程的求解。
笛卡兒在1637年出版的《幾何學》中，引入了現代函數的思想。英國人格雷果裏在1667年論文《論圓和雙曲線的求積》給出了函數的定義：從一些其他量經過一系列代數運算或任何其他可以想象的運算而得到的一個量。這裏的運算指的是加減乘除開方五種代數運算以及求極限運算。
不過現在我們看到的函數定義來自於德國人萊布尼茲，他在1673年論文中，把任何一個隨着曲線上的點變動而變動的幾何量，如切線、法線、點的縱座標都稱爲函數；並且強調這條曲線是由一個方程式給出的。直接定義了：函數表示依賴於一個變量的量。
緊接着函數概念被不斷改進，第一個重要改進是瑞士人約翰.伯努利於1698年給出的：由變量和常量用任何方式構成的量都可以叫做的函數。這裏的任何方式包括了代數式和超越式。
第二個重要改進是1748年歐拉在《無窮小分析引論》中給出的函數定義：變量的函數是一個解析表達式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的。現代函數的符號就是歐拉發明的。歐拉還區分了顯函數和隱函數、單值函數和多值函數、一元函數和多元函數等。
1775年，歐拉在《微分學》一書中，給出了函數的另一定義：如果某些變量，以這樣一種方式依賴於另一些變量，即當後者變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量爲後面變量的函數。這個定義，爲辯證法數學化打開了大門。
第三次重要改進是從函數的幾何特性開始的，是1746年達朗貝爾給出的，把曲線稱爲函數（因爲解析表達式在幾何上表示爲曲線）。但是後來歐拉發現有些曲線不一定是由單個解析式給出的，因此提出了一個新的定義：平面上隨手畫出來的曲線所表示的x與y的關係。即把函數定義爲由單個解析式表達出的連續函數，也包括由若干個解析式表達出的不連續函數（不連續函數的名稱是由歐拉提出的）。
在整個十八世紀，函數定義本質就是一個解析表達式（有限或無限）。
第四次最重要的改進是1821年柯西在《解析教程》中，給出瞭如下函數定義：在某些變量間存在着一定的關係，當一經給定其中某一變量的值，其他變量的值也隨之確定，則將最初的變量稱爲自變量，其他各個變量稱爲函數。這個定義把函數概念與曲線、連續、解析式等糾纏不清的關係給予了澄清，也避免了數學意義欠嚴格的變化一詞。函數是用一個式子或多個式子表示，甚至是否通過式子表示都無關要緊。
不過函數精確定義是德國人狄利克里於1837年給出的：若對x（a≤x≤b）的每一個值，y總有完全確定的值與之對應，不管建立起這種對應的法則的方式如何，都稱y是x的函數。這一定義徹底地拋棄了前面一些定義中解析式的束縛，強調和突出函數概念的本質，即對應思想。
對應思想是人類偉大的發現，後來的映射，同構，同態等等概念來源於此，這是這個概念最偉大的地方。
當然我們知道狄利克里偉大，主要不是他給出函數的科學定義，而是他給出了著名的狄利克里函數，這個函數是難以用簡單的包含自變量x的解析式表達的，但按照上述定義的確是一個函數。
爲使函數概念適用範圍更加廣泛，人們對函數定義作了如下補充：“函數y=f（x）的自變量，可以不必取[a，b]中的一切值，而可以僅取其任一部分”，換句話說就是x的取值可以是任意數集，這個集合中可以有有限個數、也可以有無限多個數，可以是連續的、也可以是離散的。這樣就使函數成了一個非常廣泛的概念。但是，自變量及函數仍然僅限於數的範圍，而且也沒有意識到“函數”應當指對應法則本身。
最後，我們要說說現代數學理解的函數（來自於美國人維布倫）：設集合X、Y，如果X中每一個元素x都有Y中唯一確定的元素y與之對應，那麼我們就把此對應叫做從集合X到集合Y的映射，記作f：X-->Y，y=f（x）。
不過從布爾巴基以後，基於數學結構的函數概念更進一步抽象，從函數、映射進化到關係：
1939年布爾巴基用集合之間的關係定義了函數：設E和F是兩個集合，E中的每一個元素x和F中的每一個元素y之間的一個關係f稱爲函數，如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它們滿足給定的關係。記作f：E→F。在布爾巴基的定義中，E和F不一定是數的集合，函數是集合之間的一個關係。也即設集合E和F，定義E與F的積集E*F如下：E*F＝{（x，y）|x∈ E，y∈ Y}。積集E*F中的一個子集f稱爲E與F的一個關係，若（x，y）∈ f，則稱x與y有關係f，記爲xfy,若（x，y）不屬於f，則稱x與y無關係f。設f是x與y的關係，即f∈X*Y，如果（x，y）∈f,（x，z）∈f ，必有y=z，那麼稱f爲X到Y的映射或函數。
這個定義迴避了對應這種模糊不清的描述語言，而且把函數從單純的數的概念推廣到一切對象，例如結構，圖像，集合等等。
不過微積分要處理的函數概念還是原始的，甚至只能處理初等函數。特點就是函數自變量的變化範圍是數域，也即函數定義域與因變量的變化範圍值域都是數域。這就是微積分的工作對象。這個對象可以描述一部分基於初等函數規律描述的變量跟結果的因果關係，通過對這種因果關係的分析和計算，人類就能預測或控制符合相應初等函數規律描述的事件或事物的因果關係，例如各種工程設備，武器系統等等，就能建立工業文明。
極限技巧一般是：對無法把握的連續變量，用可以計算的序列（例如數列，時間序列，多項式序列等等）逐步逼近變量，並能夠證明這些序列可以無限逼近所求的未知量，然後計算這個序列的極限就可得到變量。
極限思想是微積分的基本思想，函數的連續性，導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。
所以可以說：數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科。
極限的思想在劉徽割圓術就有了，但是僅僅是一種計算方法，而不是一個思維方式。真正的現代極限思想來自於16世紀荷蘭人斯泰文計算三角形重心過程中，用逐步逼近方式逼近重心。
牛頓和萊布尼茨最早並不是用極限思想來建立微積分的，他們的概念基礎是無窮小，但是由於無窮小是個邏輯上有瑕疵的概念，導致微積分的邏輯基礎無法自洽。例如牛頓用路程的改變量ΔＳ與時間的改變量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示運動物體的平均速度，讓Δｔ無窮小，得到物體的瞬時速度，並由此引出導數概念和微分，他並沒有極限概念，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨於相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小於任意給定的差，則最終就成爲相等”。這是一種幾何直觀而不是邏輯，就像小孩在紙上順便劃一下圓，就說是太陽。所以牛頓說不清楚他理解的無窮小到底是是什麼。其實牛頓的說法如果用極限概念，很容易在邏輯上說清楚：如果當變量（例如時間t)無限增大或變量的差無限接近0時（Δｔ-->0)，則ΔＳ／Δｔ無限地接近於常數Ａ，那麼就說ΔＳ／Δｔ以Ａ爲極限，這個極限就是s（路徑函數）在t0時的導數。
不過上述無限的概念仍然是幾何直觀的，並沒有用邏輯描述出無限這個過程是什麼，也沒有定量地給出ΔＳ和Δｔ兩個無限過程之間的數量聯繫，所以在邏輯上仍然有漏洞。
所以牛頓和萊布尼茲的微積分不斷收到懷疑和攻擊，例如最常見的質疑是貝克萊大主教的：在瞬時速度概念中，究竟Δｔ是否等於零？如果說是零，怎麼能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎麼能把包含着它的那些項去掉呢？這就是數學史上所說的無窮小悖論。
牛頓由於沒有極限概念，無法回答這種質疑，只能混戰。主要原因是微積分起源於人類計算需要從常量擴展到變量，但是牛頓採用處理常量的傳統思想來處理變量。
18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依裏埃等人明確表示極限是微積分嚴格化的基礎。其中最接近現代定義的是達朗貝爾的極限定義：一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更爲接近第一個量。但是這些定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。例如什麼叫“接近”，邏輯上的含義是什麼，其實還是幾何直觀。
現代極限概念來自於柯西，19世紀，柯西出版的《分析教程》定義：當一個變量逐次所取的值無限趨於一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成爲無窮小。
柯西把無窮小視爲以0爲極限的變量，也即無窮小不是似零非零，無窮小非零，只是其極限爲零。
魏爾斯特拉斯把柯西的語言翻譯成ε--δ語言，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂
limaｎ(n-->∞)＝Ａ，是指：如果對任何ε＞0，總存在自然數Ｎ，使得當ｎ＞Ｎ時，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恆成立。
這個定義，藉助不等式而不是幾何直觀，通過ε和Ｎ之間的關係，定量刻劃了兩個無限過程之間的聯繫。這個定義中，涉及到的僅僅是數及其大小關係，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經擺脫了“趨近”一詞，不再求助於運動的直觀。
這個定義，本質揭示了無限與有限有本質的不同：無限個數的和不是一般的代數和，它是部分和的極限，是動態過程，而非靜態計算結果。舉例來講，用任何靜態計算，都無法計算出變速直線運動的瞬時速度，因爲速度是變量。這其實就是量變和質變的一個例子：量變能引起質變。例如對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍後，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數加倍，經過無限過程之後，多邊形就變成圓，多邊形面積便轉化爲圓面積，這就是量變到質變，這就是極限概念的本質。極限是區分初等數學和高等數學的分界線，初等數學處理靜態問題，高等數學可以處理非靜態問題了，例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題。
極限概念中，最重要的定理，非魏爾斯特拉斯的多項式逼近連續函數定理莫屬，這個定理的簡單表述是：閉區間上的連續函數可由多項式一致逼近。
這個定理意味着任何連續函數，都能構造一個多項式函數來逼近它，而多項式函數的導數，微分，積分的計算，簡單易行，也即這個定理解決了連續函數的近似計算的邏輯基礎問題：存在性。
這個定理最著名的證明是蘇聯數學家伯恩斯坦構造的著名的伯恩斯坦多項式，這個方法開啓了函數構造法這一研究領域（當然對週期性的函數，還可以用三角級數，也即傅利葉級數逼近）。用多項式函數或三角級數逼近連續函數，是現代工程解決問題的主要方法，例如通信領域，如果不懂傅利葉級數，基本寸步難行，在流體力學、結構力學和彈性力學領域，不用多項式函數逼近，也基本無法計算海量的變量函數。函數構造方法其實是計算數學算法的基礎（伯恩斯坦多項式符號太多，無法介紹，有興趣可以上網搜索：伯恩斯坦多項式即可，有魏爾斯特拉斯定理用伯恩斯坦多項式證明的全過程）。
魏爾斯特拉斯本人最初的證明，是使用的核函數（正態核），並將核函數展開成一致收斂的冪級數，截取前面有限部分就構造出了逼近多項式。現在教材上選取的核函數是Landau核，這個核函數本身就是多項式，因此相比原證明減少了一步，但本質沒有改變。魏爾斯特拉斯本人最初的證明不如伯恩斯坦的證明那麼直截了當，那麼優美（可以翻教科書參考，如果想詳細瞭解過程，可以看菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》，這是經典微積分教材）。當然這個定理最直觀的證明是勒貝格的折線逼近法：閉區間上的連續函數可以用折線逼近 （可以查書）。
極限是微積分的核心概念，微積分處理初等函數變化，一般都涉及無窮概念，無窮概念只有從極限角度理解，才能正確描述和把握，其實描述極限的語言體系是ε--δ語言是一個相當於公理體系的定義，ε--δ意義下的極限是一種公理定義下的逼近，這種逼近不是幾何描述的，所以沒有邏輯悖論的可能。
逼近的常見技巧是放縮和夾逼，也即不等式是極限的主要技巧。
微積分中討論的連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分等等概念都是基於極限的思想方法給出。
所以換句話說，微積分主要工作對象就是連續函數。其實人類在直到牛頓萊布尼茲時代，並不知道還有非連續的函數概念。預先假定都是連續的，而且他們對連續函數理解僅僅是幾何直觀，把能一筆畫成的曲線所對應的函數叫做連續函數。例如伽利略所研究的落體運動，開普勒所研究的繞日運轉的行星所掃描的扇形面積，牛頓所研究的流等都是連續變化的量。
所謂連續，直觀解釋就是運動變化的過程連綿不斷，連續函數就是刻畫變量連續變化的數學模型。
微積分是以直爲曲的，所以對連續函數也要進行這種處理，例如柯西和魏爾斯特拉斯就用離散的多項式來逼近連續函數，這就是極限理論的由來，有了極限，纔開始真的能夠把握連續函數的性質。
最早人類理解連續函數，就是當x逐漸改變時，函數f(x)的相應變動也是逐漸的，不會有任何突增或突減的跳躍式振盪。但這種理解毫無用處，因爲既不能計算，也不能控制。
函數連續的精確表述：設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，任給ε大於零，存在δ大於零，當｜x-x0｜<δ時，有｜f(x)-f(x0)｜<ε,則稱函數f(x)在x0點連續。 < span="">
這就是數學分析的基本語言：ε--δ語言，不熟悉這套語言體系，無法學會數學分析。
用ε--δ語言定義的連續函數，就能計算其極限問題 ，這是微積分的重要內容，因爲微分本質就是計算極限。
而連續函數求極限這種複雜問題本質是可以轉化爲求函數值的問題的，這就可以大大簡化求極限難度。
我們知道，函數的連續性是一個局部性質，對區間也不例外。但如果是閉區間上的連續函數，卻能把局部性質轉化爲整體性質，象閉區間上連續函數的有界性、最大最小值性、介值性、根的存在性、一致連續性等。
用ε--δ語言，我們就能把握連續函數的性質：
連續函數的局部性質：若函數f在點x0連續，則f在點x0有極限，且極限值等於函數值f(x0)。根據這個性質，可以容易證明下述定理：
局部有界性定理：若函數f在點x0連續，則f在x0的某鄰域U(x0)內有界。
局部保號定理：若函數f在點x0連續，且f（x0）>0（或<0），則對任何正數r<f(x0)（或r<-f(x0)），存在某u(x0)，使得對一切x∈u(x0)有r<f(x)（或r<-f(x)）。 < span="">
四則運算定理：若函數f和g在點x0連續，則f±g，f*g，f/g（這裏g(x0)≠0)也都在點x0連續。
複合函數定理：若函數f在點x0連續，g在點uo連續，u0=f(x0),則
limg(f(x))(x-->x0)=g(limf(x))(x-->x0)=g(f(x0))
海涅（Heine)定理：limf(x)(x-->x0)存在的充分必要條件是對任給的序列{xn}，若滿足limxn(n-->∞)=x0(xn≠x0)，則有limf(xn)(n-->∞)存在。
最大、最小值定理：若函數f在閉區間[a,b]上連續，則f在[a,b]上有最大值與最小值；或稱函數f在[a,b]上達到最大值。
推論（有界性定理）：若函數f在閉區間[a,b]上連續，則f在[a,b]上有界。
介值性定理：設函數f在閉區間[a,b]上連續，且f(a）≠f(b）。若μ爲介於f(a）與f(b）之間的任何實數（f(a）<μ
根的存在定理：若函數f在閉區間[a,b]上連續，且f(a）與f(b）異號，則至少存在一點x0∈(a,b)使得f（x0）=0。即方程f(x)=0在(a,b)內至少有一個根。
反函數連續定理：若函數f在[a,b]上嚴格單調並連續，則反函數f^-1在其定義域[f(a),f（b）]或[f（b）,f(a)]上連續。
初等函數的連續定理：任何初等函數在它的定義域上都連續。
現在導數定義是19世紀60年代魏爾斯特拉斯用ε--δ語言定義的：設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內時，相應地函數增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果任意給ε>0,存在常數a和δ>0,當│Δx│<δ時,使│δy δx-a│<ε，則稱函數y="f(x)在點x0處可導，並稱這個極限爲函數y=f(x)在點x0處的導數,記爲f'(x0)，也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0。
導數的幾何直觀就是函數形成的曲線在一點的切線的斜率。
最早導數主要用於求變速運動的瞬時速度（計算彈頭的穿透能力或動能必須知道彈頭接觸目標的瞬時速度）和求曲線上一點的切線。牛頓從第一個問題出發，萊布尼茲從第二個問題出發，分別給出了導數的概念。
牛頓的想法很直觀，如一輛汽車在10小時內走了600公里，它的平均速度是60公里/小時。但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60公里/小時。設汽車所在位置s與時間t的關係爲：s=f（t）,那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是：
(f(t1)-f(t0))/(t1-t0)，當 t1與t0無限趨近於零時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，瞬時速度就近似等於平均速度 。
自然就把當 t1-->t0時的極限 lim(f(t1)-f(t0))/(t1-t0)作爲汽車在時刻t0的瞬時速度，這顯然就是導數。
顯然根據上述定義，導數是通過極限對函數進行局部的線性逼近，所以導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。
顯然不是所有的函數都有導數（例如產生突變點，奇點的函數就沒有導數），一個函數也不一定在所有的點上都有導數。
若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱爲不可導。顯然很容易證明：可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
如果函數y=f(x)在開區間內每一點都可導，就稱函數f(x)在區間內可導。這時函數y=f(x)對於區間內的每一個確定的x值，都對應着一個確定的導數，這就構成一個新的函數，這個函數爲原來函數y=f(x)的導函數，記作y'、f'(x)、dy/dx或df(x)/dx，簡稱導數。
顯然，導數運算滿足一下性質：
(u+-v)’=u’+-v’；（uv）’=u’*v+u*v’；（u/v)’=(u’*v-u*v’)/v^2。
根據上導數定義和性質，很容易計算出一些常見函數的導數：
y=x^n，y'=n*x^(n-1)；
y=a^bx，y'=b*a^bx*lna；
y=a^u，y'=u’*a^u*lna；
y=e^bx，y’=b*e^bx；
y=e^u，y’=u’&e^u；
y=loga^x，y’=1/(xlna)；
y=lnx，y’=1/x；
y=sinx，y’=cosx；
y=cosx，y’=-sinx；
y=tanx，y’=sec^2(x)；
y=cotx，y’=-csc^2(x)；
y=secx，y’=secx*tanx；
y=cscx，y’=-cscx*cotx；
y=arcsinx，y’=1/(1-x^2)^1/2；
y=arccosx，y’=-1/(1-x^2)^1/2；
y=arctanx，y’=1/(1+x^2)；
y=arccotx，y’=-1/(1+x^2)；
y=shx，y’=chx。
在實際上應用中，大部分常見的函數都上述函數的和、差、積、商或相互複合的結果。所以一般情況下，函數的導函數計算是簡單容易的。
導數的幾個用途：
判別單調性：若導數大於零，則單調遞增；若導數小於零，則單調遞減；導數等於零爲函數駐點，不一定爲極值點。
求極值：如果存在一點，使得導數在之前區間上都大於等於零，而在之後區間上都小於等於零，那麼是一個極大值點，反之則爲極小值點。
自然推論：若已知函數爲遞增函數，則導數大於等於零；若已知函數爲遞減函數，則導數小於等於零。
判斷函數凹凸性：如果函數的導函數在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函數是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函數存在，如果在某個區間上二階導數恆大於零，則這個區間上函數是向下凹的，反之這個區間上函數是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱爲曲線的拐點。
導數的最著名應用是中值定理和洛必達法則。
中值定理應包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。
羅爾中值定理：如果函數f(x)滿足：在閉區間[a,b]上連續；在開區間(a,b)內可導；在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)="0。
幾何上，羅爾定理含義是一條連續的曲線弧 ，如果除端點外處處有不垂直於x軸的切線，且兩端點的縱座標相等，則弧上至少有一點的切線是水平的。
拉格朗日定理：如果函數 f(x) 滿足：在閉區間[a,b]上連續；在開區間(a,b)內可導，那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)-f(a)="f’(ξ)(b-a)" 成立。 <="" span="">
柯西定理：如果函數f(x)及F(x)滿足：在閉區間[a,b]上連續；在開區間(a,b)內可導；對任一x∈(a,b)，F'(x)≠0，那麼在(a,b) 內至少有一點ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。
泰勒公式：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開爲一個關於（x-x0)多項式和一個餘項的和：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f^(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn
其中Rn=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)，這裏ξ在x和x,0之間，該餘項稱爲拉格朗日型的餘項。
（f^(n)(x0)是f(x0)的n階導數，不是f(n)與x0的相乘）
推論：麥克勞林公式：
若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開爲一個關於x多項式和一個餘項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!*x^2,+f'''(0)/3!*x^3+……+f^(n)(0)/n!*x^n+Rn
其中Rn=f^(n+1)(θx)/(n+1)!*x^(n+1),這裏0<θ<1。 < span="">
達布定理：若函數f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值。
推廣：若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。
洛必達法則：設當x→a時，函數f(x)及F(x)都趨於零；在點a的去心鄰域內，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；當x→a時limf'(x)/F'(x)存在(或爲無窮大)，那麼x→a時 limf(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
又設當x→∞時，函數f(x)及F(x)都趨於零；當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；當x→∞時limf'(x)/F'(x)存在(或爲無窮大)，那麼x→∞時 limf(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
中值定理經常用於證明方程根的存在性，證明恆等式，證明不等式，研究函數的單調性，求函數極限（用羅必達法則求0/0，∞/∞函數極限是常用手段），求函數的極值與最值，討論函數的凸凹性，求函數的拐點 ，求函數的漸近線，描繪函數的圖象等等。具體例子可以查教科書。
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