向量叉乘的幾何意義

向量叉乘的幾何意義

對於兩個2維向量:
a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned} a b ​=(x1,y1)=(x2,y2)​

叉乘定義:
｜ a ⃗ × b ⃗ ｜ = x 1 y 2 − x 2 y 1 ｜\vec{a} \times \vec{b}｜ = x_1y_2-x_2y_1 ｜a ×b ｜=x1​y2​−x2​y1​

計算面積

四邊形ODCE面積:
S = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) S = (x_1+x_2)(y_1+y_2) S=(x1​+x2​)(y1​+y2​)

四邊形GDFB面積:
S 1 = x 2 y 1 S_{1} = x_2y_1 S1​=x2​y1​

三角形BFC面積:
S 2 = 0.5 ( x 1 y 1 ) S_{2}=0.5(x_1y_1) S2​=0.5(x1​y1​)

三角形OGB面積:
S 3 = 0.5 ( x 2 y 2 ) S_{3}=0.5(x_2y_2) S3​=0.5(x2​y2​)

平行四邊形OGCA面積:
S 平 行 四 邊 形 = S − 2 S 1 − 2 S 2 − 2 S 3 = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 2 − x 2 y 1 \begin{aligned} S_{平行四邊形} &= S-2S_1-2S_2-2S_3 \\ &= (x_1+x_2)(y_1+y_2) - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_1+x_2y_1 + x_1y_2+x_2y_2 - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_2 - x_2y_1 \end{aligned} S平行四邊形​​=S−2S1​−2S2​−2S3​=(x1​+x2​)(y1​+y2​)−2x2​y1​−x1​y1​−x2​y2​=x1​y1​+x2​y1​+x1​y2​+x2​y2​−2x2​y1​−x1​y1​−x2​y2​=x1​y2​−x2​y1​​

結論:

向量叉乘的模表示的是所圍成平行四邊形的面積。