【CF566C】Logistical Questions
題意：給你一棵n個點的樹，點有點權，邊有邊權，兩點間的距離爲兩點間的邊權和的$3\over 2$次方。求這棵樹的帶權重心。
$n\le 200000$
題解：首先$y=x^{3\over 2}$是單峯的，並且兩個形如$y=ax^{3\over 2}+b$的函數加起來得到的函數還是單峯的。如果在樹上有兩個點a和b，b有很多相鄰的點，那麼只有一個相鄰點c滿足：c到a的距離比b到a的距離短，其餘的都比b長。於是我們可以得出一個當樹只是一條鏈時的做法：
二分重心，算一下它的答案以及相鄰兩點的答案，取較小的那邊繼續二分即可。
但是放到樹上呢？在樹上二分？那不就是點分嘛！所以我們每次算出分治重心的答案，以及它前往每個相鄰點的導數，取導數爲負的那個繼續點分即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long double db;
const int maxn=200010;
int n,cnt,mn,tot,rt,ans1;
db sum,sumd,ans2;
db w[maxn],val[maxn<<1],sd[maxn<<1];
int to[maxn<<1],head[maxn],nxt[maxn<<1],vis[maxn],siz[maxn];
inline int rd()
{
int ret=0,f=1; char gc=getchar();
while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-') f=-f; gc=getchar();}
while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar();
return ret*f;
}
void getsz(int x,int fa)
{
siz[x]=1;
for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]) if(to[i]!=fa&&!vis[to[i]]) getsz(to[i],x),siz[x]+=siz[to[i]];
}
void getrt(int x,int fa)
{
int tmp=tot-siz[x];
for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]) if(to[i]!=fa&&!vis[to[i]]) getrt(to[i],x),tmp=max(tmp,siz[to[i]]);
if(tmp<mn) mn=tmp,rt=x;
}
void calc(int x,int y,int fa,db dep)
{
sum+=dep*sqrt(dep)*w[x],sumd+=w[x]*sqrt(dep)*3/2,sd[y]+=w[x]*sqrt(dep)*3/2;
for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]) if(to[i]!=fa) calc(to[i],y,x,dep+val[i]);
}
void dfs(int x)
{
if(vis[x]) return ;
vis[x]=1;
int i;
sum=sumd=0;
for(i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]) sd[to[i]]=0,calc(to[i],to[i],x,val[i]);
if(sum<ans2) ans2=sum,ans1=x;
for(i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]) if(sumd-sd[to[i]]*2<0)
{
getsz(to[i],x),tot=siz[to[i]],mn=1<<30,getrt(to[i],x),dfs(rt);
break;
}
}
inline void add(int a,int b,db c)
{
to[cnt]=b,val[cnt]=c,nxt[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
int main()
{
n=rd();
int i,a,b,c;
for(i=1;i<=n;i++) w[i]=rd();
memset(head,-1,sizeof(head));
for(i=1;i<n;i++)
{
a=rd(),b=rd(),c=rd();
add(a,b,c),add(b,a,c);
}
ans2=1e20;
getsz(1,0),tot=n,mn=1<<30,getrt(1,0),dfs(rt);
printf("%d %.10Lf",ans1,ans2);
return 0;
}