迭代：是一種重複執行某個任務的控制結構。在迭代中，程序會在滿足一定的條件下重複執行某 段代碼，直到這個條件不再滿足。
以 for、while 爲代表
總的來說，for 循環的代碼更加緊湊，while 循環更加靈活，兩者都可以實現迭代結構。選擇使用哪一個應該 根據特定問題的需求來決定。
遞歸：是一種算法策略，通過函數調用自身來解決問題。
它主要包含兩個階段。
1. 遞：程序不斷深入地調用自身，通常傳入更小或更簡化的參數，直到達到“終止條件”。
2. 歸：觸發“終止條件”後，程序從最深層的遞歸函數開始逐層返回，匯聚每一層的結果。
而從實現的角度看，遞歸代碼主要包含三個要素。
1. 終止條件：用於決定什麼時候由“遞”轉“歸”。
2. 遞歸調用：對應“遞”，函數調用自身，通常輸入更小或更簡化的參數。
3. 返回結果：對應“歸”，將當前遞歸層級的結果返回至上一層。
以求和爲例對比：對比普通遞歸和尾遞歸，兩者的求和操作的執行點是不同的。 ‧
普通遞歸：當函數返回到上一層級的函數後，需要繼續執行代碼，因此係統需要保存上一層調用的上下 文。 ‧
求和操作是在“歸”的過程中執行的，每層返回後都要再執行一次求和操作。 ‧
尾遞歸：遞歸調用是函數返回前的最後一個操作，這意味着函數返回到上一層級後，無須繼續執行其他 操作，因此係統無須保存上一層函數的上下文。
求和操作是在“遞”的過程中執行的，“歸”的過程只需層層返回。
小結：從計算角度看，迭代與遞歸可以得到相同的結果，但它們代表了兩種完全不同的思考和解決問題的範 式。 ‧ 迭代：“自下而上”地解決問題。從最基礎的步驟開始，然後不斷重複或累加這些步驟，直到任務完成。 ‧ 遞歸：“自上而下”地解決問題。將原問題分解爲更小的子問題，這些子問題和原問題具有相同的形式。
1. 調用棧
遞歸函數每次調用自身時，系統都會爲新開啓的函數分配內存，以存儲局部變量、調用地址和其他信息等。 這將導致兩方面的結果。 ‧ 函數的上下文數據都存儲在稱爲“棧幀空間”的內存區域中，直至函數返回後纔會被釋放。因此，遞歸 通常比迭代更加耗費內存空間。 ‧ 遞歸調用函數會產生額外的開銷。因此遞歸通常比循環的時間效率更低。
***：在實際中，編程語言允許的遞歸深度通常是有限的，過深的遞歸可能導致棧溢出錯誤。***
遞歸樹：以“斐波那契數列” 爲例。 給定一個斐波那契數列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ，求該數列的第 𝑛 個數字。 設斐波那契數列的第 𝑛 個數字爲 𝑓(𝑛) ，
即 𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑛 − 1) + 𝑓(𝑛 − 2) 。
在函數內遞歸調用了兩個函數，這意味着從一個調用產生了兩個調用分支。最終將產生一棵層數爲 𝑛 的 遞歸樹。
從本質上看，遞歸體現了“將問題分解爲更小子問題”的思維範式，這種分治策略至關重要。
‧ 從算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、動態規劃等許多重要算法策略直接或間接地應用了這種思維 方式。
‧ 從數據結構角度看，遞歸天然適合處理鏈表、樹和圖的相關問題，因爲它們非常適合用分治思想進行分析。
迭代和遞歸使用場景：
迭代：適用於簡單循環任務，代碼直觀、可讀性好
遞歸：適用於子問題分解，如樹、圖、分治、回溯等，代碼結構簡潔、清晰
應該如何準確預估一段代碼的運行時間？
1. 確定運行平臺，包括硬件配置、編程語言、系統環境等，這些因素都會影響代碼的運行效率。
2. 評估各種計算操作所需的運行時間，例如加法操作 + 需要 1 ns ，乘法操作 * 需要 10 ns ，打印操作 print() 需要 5 ns 等。
3. 統計代碼中所有的計算操作，並將所有操作的執行時間求和，從而得到運行時間。
時間複雜度分析統計的不是算法運行時間，而是算法運行時間隨着數據量變大時的增長趨勢。
相較於直接統計算法的運行時間，時間複雜度分析有哪些特點呢？
‧ 時間複雜度能夠有效評估算法效率。例如，算法 B 的運行時間呈線性增長，在 𝑛 > 1 時比算法 A 更慢， 在 𝑛 > 1000000 時比算法 C 更慢。事實上，只要輸入數據大小 𝑛 足夠大，複雜度爲“常數階”的算法 一定優於“線性階”的算法，這正是時間增長趨勢的含義。
‧ 時間複雜度的推算方法更簡便。顯然，運行平臺和計算操作類型都與算法運行時間的增長趨勢無關。因 此在時間複雜度分析中，我們可以簡單地將所有計算操作的執行時間視爲相同的“單位時間”，從而將 “計算操作運行時間統計”簡化爲“計算操作數量統計”，這樣一來估算難度就大大降低了。
‧ 時間複雜度也存在一定的侷限性。例如，儘管算法 A 和 C 的時間複雜度相同，但實際運行時間差別很 大。同樣，儘管算法 B 的時間複雜度比 C 高，但在輸入數據大小 𝑛 較小時，算法 B 明顯優於算法 C 。在 這些情況下，我們很難僅憑時間複雜度判斷算法效率的高低。當然，儘管存在上述問題，複雜度分析仍 然是評判算法效率最有效且常用的方法。