母函數，又稱生成函數，是ACM競賽中經常使用的一種解題算法，常用來解決組合方面的題目。
本文講解母函數，但不講解該算法的基礎理論。讀者隨便找一本組合數學教材便可找到相應的內容，或者直接在網上搜索一下。
母函數通常解決類似如下的問題：
給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，有多少種組合？
某些時候會規定至少使用3張1元、1張2元、0張5元。
某些時候會規定有無數張1元、2元、5元。
……
解題過程
解題時，首先要寫出表達式，通常是多項的乘積，每項由多個x^y組成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表達式爲
(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))
K對應具體問題中物品的種類數。
v[i]表示該乘積表達式第i個因子的權重，對應於具體問題的每個物品的價值或者權重。
n1[i]表示該乘積表達式第i個因子的起始係數，對應於具體問題中的每個物品的最少個數，即最少要取多少個。
n2[i]表示該乘積表達式第i個因子的終止係數，對應於具體問題中的每個物品的最多個數，即最多要取多少個。
對於表達式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]={1,2,5}，n1[3]={0,4,1}，n2[3]={2,5,4}。
解題的關鍵是要確定v、n1、n2數組的值。
通常n1都爲0，但有時候不是這樣。
n2有時候是無限大。
之後就實現表達式相乘，從第一個因子開始乘，直到最後一個爲止。此處通常使用一個循環，循環變量爲i。每次迭代的計算結果放在數組a中。計算結束後，a[i]表示權重i的組合數，對應具體問題的組合數。
循環內部是把每個因子的每個項和a中的每個項相乘，加到一個臨時的數組b的對應位（這裏有兩層循環，加上最外層循環，總共有三層循環），之後就把b賦給a。
這些過程通常直接套用模板即可。
通用模板
下面我直接給出通用模板：
- //爲計算結果，b爲中間結果。
- int a[MAX],b[MAX];
- //初始化a
- memset(a,0,sizeof(a));
- a[0]=1;
- for (int i=1;i<=17;i++)//循環每個因子
- {
- memset(b,0,sizeof(b));
- for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//循環每個因子的每一項
- for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++)//循環a的每個項
- b[k+j*v[i]]+=a[k];//把結果加到對應位
- memcpy(a,b,sizeof(b));//b賦值給a
- }
P是可能的最大指數。拿鈔票組合這題來說，如果要求15元有多少組合，那麼P就是15；如果問最小的不能拼出的數值，那麼P就是所有錢加起來的和。P有時可以直接省略。具體請看本文後面給出的例題。
如果n2是無窮，那麼第二層循環條件j<=n2[i]可以去掉。
如何提高效率？
用一個last變量記錄目前最大的指數，這樣只需要在0..last上進行計算。
這裏給出第二個模板：
- //初始化a，因爲有last，所以這裏無需初始化其他位
- a[0]=1;
- int last=0;
- for (int i=0;i<K;i++)
- {
- int last2=min(last+n[i]*v[i],P);//計算下一次的last
- memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2]
- for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//這裏是last2
- for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//這裏一個是last，一個是last2
- b[k+j*v[i]]+=a[k];
- memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b賦值給a，只賦值0..last2
- last=last2;//更新last
- }
例題
下面看幾個例題。
一、hdu 1085和hdu 1171兩題套用了第二個模板，省略了代碼中二三層循環裏關於last2的條件（其實也可以加上）。
詳見：
hdu 1085：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041467
hdu 1171：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041709
二、hdu 1398套用了第一個模板，因爲n2中每一項爲無窮大，所以n2數組就省略了。
詳見：
hdu 1398：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17041815
三、hdu 2079、hdu 2082和hdu 2110三題直接套用了第二個模板。
詳見：
hdu 2079：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042045
hdu 2082：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042253
hdu 2110：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042421
另外，至於什麼時候用第一個模板，什麼時候用第二個模板，就看題目規模。
通常情況下，第一個模板就夠用了，上面的那些用第二個模板的題目用第一個模板同樣能AC。
但如果數據規模比較大（通常不會有這種情況），就要使用第二個模板了。
以上題目n1均爲0。
四、hdu 2152是一道n1不爲0的題目，我在這裏分別套用第一個和第二個模板解題。
詳見：
hdu 2152：http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042497
希望大家讀了我的這篇文章後能有收穫。
轉自 : http://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042651