拋硬幣直到出現連續N次正面爲止的期望

做項目時遇到這樣一個問題，問題可以簡化爲

問題1：已知一件事情發生的概率是p，連續對這件事情進行很多次實驗直到這件事連續發生了n次，求需要進行多少次實驗次數的期望。

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問題2：如果用拋硬幣來舉例子，則爲假設有一個硬幣，拋出背面和正面的概率都是0.5，而且每次拋硬幣與前次結果無關。現在做一個遊戲，連續地拋這個硬幣，直到連續出現三次正面爲止，問平均要拋多少次才能結束遊戲？注意，一旦連續拋出三次正面向上遊戲就結束了，不用繼續拋。

在網上看到一個巧妙的解法，假設已經連續拋出n-1次正面，需要Tn−1 次。想得到n次正面，則再進行一次投擲（Tn=Tn−1+1+? ），若硬幣爲正面則遊戲結束，還需要拋0次（Tn=Tn−1+1+0.5∗0+? ）；如果硬幣爲反面，則遊戲重來，還需要投擲0.5∗Tn 次，遞推公式如下所示：

Tn=Tn−1+1+0.5∗0+0.5∗Tn

求出通項公式爲：

Tn=2n+1−2

問題2爲連續拋出三次正面，嘗試次數的期望爲14.
對問題1用同樣類似的思路，可以求得連續n次發生的次數的期望爲

Tn=1pn+1−11−p

在n很大時，我們可以用下面的公式來近似估計：

Tn≈1pn+1

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參考：http://blog.csdn.net/wangran51/article/details/8882088