關於仿射矩陣的推導過程

1.仿射矩陣的一般式

⎡⎣⎢xwywzw⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a231⎤⎦⎥●⎡⎣⎢ximageyimage1⎤⎦⎥

其中設圖像平面爲1，座標只有一個比例因子。故

Zimage=1,a33=1

求得a11~a32 8個參數便能得到仿射矩陣。
2.求解8個參數
爲了得到仿射後的一一對應關係，8個未知數應有8個方程，故需要4個不同的點對應才能求解該方程。
由矩陣乘法可知：

xw=a11⋅ximage+a12⋅yimage+a13…………(1)

yw=a21⋅ximage+a22⋅yimage+a23…………(2)

zw=a31⋅ximage+a32⋅yimage+1…………(3)

要得到zw的平面內x和y的值，由投影的三角形相似法可得:x，y應除以z

故：

xworld=xwzw,yworld=ywzw

有:

xworld=a11⋅ximage+a12⋅yimage+a13a31⋅ximage+a32⋅yimage+1

yworld=a21⋅ximage+a22⋅yimage+a23a31⋅ximage+a32⋅yimage+1

代入四個對應點對，並寫成矩陣A·x = 0的形式。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1i0x2i0x3i0x4i0y1i0y2i0y3i0y4i0101010100x1i0x1i0x3i0x4i0y1i0y1i0y3i0y4i01010101−x1ix1w−y1wx1i−x2ix2w−y1wx1i−x3ix3w−y3wx3i−x4ix4w−y4wx4i−x1iy1w−y1iy1w−x2iy2w−y1iy1w−x3iy3w−y3iy3w−x4iy4w−y4iy4w−x1w−y1w−x2w−y1w−x3w−y3w−x4w−y4w⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a12a13a21a22a23a31a321⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0

由此可求得這8個參數。
3.多點求仿射矩陣
超過四個點，就是方程數大於未知數。屬於超定方程求解，可以由最小二乘法解決。