單源最短路徑

問題描述：

給定一個帶權有向圖 G=(V,E) ，其中每條邊的權是一個非負實數。另外，還給定 V 中的一個頂點，稱爲源。現在我們要計算從源到所有其他各頂點的最短路徑長度。這裏的長度是指路上各邊權之和。這個問題通常稱爲單源最短路徑問題。

解決方案：

Dijkstra提出按各頂點與源點v間的路徑長度的遞增次序，生成到各頂點的最短路徑的算法。既先求出長度最短的一條最短路徑，再參照它求出長度次短的一條最短路徑，依次類推，直到從源點v 到其它各頂點的最短路徑全部求出爲止。

解決思想：

將圖G中所有的頂點V分成兩個頂點集合S和T。以v爲源點已經確定了最短路徑的終點併入S集合中，S初始時只含頂點v,T則是尚未確定到源點v最短路徑的頂點集合。

　　具體步驟

　　1、選一頂點v爲源點，並視從源點v出發的所有邊爲到各頂點的最短路徑（確定數據結構：因爲求的是最短路徑，所以1.就要用一個記錄從源點v到其它各頂點的路徑長度數組dist[],開始時，dist是源點v到頂點i的直接邊長度，即dist中記錄的是鄰接陣的第v行。2.設一個用來記錄從源點到其它頂點的路徑數組path[],path中存放路徑上第i個頂點的前驅頂點）。

　　2、在上述的最短路徑dist[]中選一條最短的，並將其終點（即<v,k>）k加入到集合s中。

　　3、調整T中各頂點到源點v的最短路徑。因爲當頂點k加入到集合s中後，源點v到T中剩餘的其它頂點j就又增加了經過頂點k到達j的路徑,這條路徑可能要比源點v到j原來的最短的還要短。調整方法是取dist[k]+g[k,j]<dist[j]與dist[j]的較小者。

　　4、再選出一個到源點v路徑長度最小的頂點k,從T中刪去後加入S中，再回去到第三步，如此重複，直到集合S中的包含圖G的所有頂點。

Dijkstra算法實現：

public void Dijkstra(ref int[] distance, Node<T> n) { int v = 0; bool[] final = new bool[nodes.Length]; //初始化 for (int i = 0; i < nodes.Length; ++i) { final[i] = false; distance[i] = matrix[GetIndex(n), i]; } // n爲源點 distance[GetIndex(n)] = 0; final[GetIndex(n)] = true; //處理從源點到其餘頂點的最短路徑 for (int i = 0; i < nodes.Length; ++i) { int min = int.MaxValue; //比較從源點到其餘頂點的路徑長度 for (int j = 0; j < nodes.Length; ++j) { //從源點到j頂點的最短路徑還沒有找到 if (!final[j]) { //從源點到j頂點的路徑長度最小 if (distance[j] < min) { v = j; min = distance[j]; } } } //源點到頂點k的路徑長度最小 final[v] = true; //更新當前最短路徑及距離 for (int w = 0; w < nodes.Length; w++) if (final[w] == false) { if (matrix[v, w] != int.MaxValue && (min + matrix[v, w] < distance[w])) distance[w] = min + matrix[v, w]; } } }