從本章開始，我們就會陸續講一些圖算法。本文首先給大家聊一聊圖傳播算法，對於圖傳播算法，並沒有確切的定義，但是這類算法都有着十分明確和統一的範式，理解了這一範式之後，就能迅速掌握此類算法。
給定圖G={V,E}，V表示節點集合，E表示邊集合，設N(Vi)表示節點Vi的鄰居節點構成的集合，若G爲有向圖：
其中Nin(Vi)表示Vi的入邊節點集合，Nout(Vi)表示Vi的出邊節點集合。
假設我們對Vi節點的衡量指標表示爲Rvi（比如後面會具體談到的指標PageRank值、hub值、Authority值等）衡量指標的更新規則爲函數f，則圖傳播算法的一般步驟執行如下：
1、初始化Rvi
2、While（不滿足停止條件）
3、
上述步驟的核心在於第三行中的更新函數f，一般來說f具有以下兩個特點：
a. f是無參的，就是說f是直接進行量化計算的，不需要參數學習過程。這樣的特點就決定了f的設計需要十分精巧，符合一定的基本經驗直覺，總結來說就是：
b. f是作用在節點一階鄰域上的。這一點是很多以節點爲中心的算法的共同特點，每一次節點在更新過程中，只有鄰居節點參與運算，但是隨着更新次數的增加，信息的流通也變得更Global。
另外，停止條件一般選取一個最大的迭代輪數或者Rvi不再變化。下面，我們結合4個經典的圖傳播算法來看看該範式是怎麼發揮實際作用的。
第一個：PageRank
如果將每一個網頁都抽象成一個節點，網頁A有鏈接指向B，則存在一條有向邊從節點A指向節點B，那麼整個Web網頁就抽象成爲一張有向圖。PageRank算法要做的就是對圖中的每個節點進行重要性排名。
經驗假設：
數量假設——被更多網頁鏈接到的網頁更重要；
權重假設——有更少外鏈的網頁將會傳遞更高的權重。
數量假設表示重要性的計算是加和的，權重假設是說重要性的計算是加權的，因此，如果要量化重要性的計算，其在數學形式上一定是加權求和的。
下面我們直接給出更新函數的向量化形式：
Rvi表示節點Vi的重要度排名
Vj的權重
下面我們舉個經典的例子來說明PageRank算法是怎麼計算的。假設有A,B,C,D四個網頁，其構成的有向圖如下：
鄰接矩陣
Adj(ij)=1,則表示有節點從j指向節點i的邊，對Adj按列進行歸一化得到：
我們稱M爲轉移矩陣（Transition,Matrix）Mij表示從節點j跳轉到節點i的概率，可以看到：
初始時設每個網頁的排名都是1/N
依據上面更新函數，將其寫成矩陣形式則更新後：
之後，不斷重複這個過程會發現，R最終是收斂的。這裏我們需要注意到一個重要的性質，如果R初始化後加和爲1，則R在之後的迭代過程中，R的加和永遠保持爲1，我們可以證明下：
R=MR，兩邊求和，我們看右邊
Mcol爲M矩陣列向量之和組成的向量，由M的定義可知，M矩陣每一列加和爲1，所以這裏Mcol是一個全1向量，因此：
由於R初始化後加和爲1，則上式恆等於1。更嚴格來說，如果有向圖是強連通的（任意兩個節點之間至少存在一條路徑可達），R的初始化加和爲1，則可證明R是收斂的。實際上，Web網頁並不是強連通的圖，存在以下兩種情況導致PageRank計算失敗：
1、DeadEnds，有節點不存在外鏈。這會導致什麼問題呢？我們舉個例子：
D節點不存在任何外鏈，如果我們進行迭代計算，由於上面的性質可得：
可以看到，新得到的R的求和是不斷減小的，這個過程如果一直不斷迭代下去，R全部都會變成0，使得計算失效。
2、Spider traps：有些節點只存在指向自己的外鏈，這又會導致什麼問題呢？同樣舉個例：
節點D只存在指向自己的外鏈，首先
符合R永遠是加和爲1的，但是注意
可以看到D的排名R4永遠比上一輪大，因此計算下去會快速的發現最後D的R值爲1，其他節點都爲0。
在實際應用中，爲了有效避免上述兩個問題，會使用到一個小技巧，就是假設每個節點都有一個假想的外鏈指向其它任一節點，這樣整個圖就變成了一個強連通圖了。當然，爲了儘量不影響最終計算的PageRank值，節點通過假想外鏈傳遞的PageRank值會乘一個權重因子β，β一般取0.2或者更小。因此，實際中PageRank的更新公式變成了：
如果按照這個更新公式下去，每個頁面都會得到一個合理的排名值。
關於其他的算法，我們會在下篇中繼續介紹。
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