高斯投影座標正反算公式

§8.3高斯投影座標正反算公式

任何一種投影①座標對應關係是最主要的；②如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外（C-R偏微分方程），還有它本身的特殊條件。

8.3.1高斯投影座標正算公式： 

高斯投影必須滿足以下三個條件：

①中央子午線投影后爲直線；②中央子午線投影后長度不變；③投影具有正形性質，即正形投影條件。

由第一條件知中央子午線東西兩側的投影必然對稱於中央子午線，即(8-10)式中，x爲l的偶函數，y爲l的奇函數；，如展開爲l的級數，收斂。

式中是待定係數，它們都是緯度B的函數。

由第三個條件知：

(8-33)式分別對和q求偏導數並代入上式

上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的係數應相等，即

(8-35)是一種遞推公式，只要確定了就可依次確定其餘各系數。                      

由第二條件知:位於中央子午線上的點，投影后的縱座標x應等於投影前從赤道量至該點的子午線弧長X，即(8-33)式第一式中，當時有：

顧及(對於中央子午線)

得：

依次求得並代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式

8.3.2高斯投影座標反算公式 

投影方程：

滿足以下三個條件：

①x座標軸投影后爲中央子午線是投影的對稱軸；② x座標軸投影后長度不變；③投影具有正形性質，即正形投影條件。

高斯投影座標反算公式推導要複雜些。

①由x求底點緯度(垂足緯度),對應的有底點處的等量緯度，求x,y與的關係式，仿照(8-10)式有，

由於y和橢球半徑相比較小(1/16.37)，可將展開爲y的冪級數；又由於是對稱投影，q必是y的偶函數，必是y的奇函數。

是待定係數，它們都是x的函數.

由第三條件知：

(8-45)式分別對x和y求偏導數並代入上式

上式相等必要充分條件，是同次冪y前的係數相等，

第二條件，當y=0時，點在中央子午線上，即x=X，對應的點稱爲底點，其緯度爲底點緯度，也就是x=X時的子午線弧長所對應的緯度，設所對應的等量緯度爲。也就是在底點展開爲y的冪級數。

由(8-45)1式 

依次求得其它各系數

將代入(8-45)1式得

將代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最後表達式)

②求的關係。

由(8-7)式知：

按臺勞級數在展開

由(8-7)式可求出各階導數：

將式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式並按y冪集合得高斯投影座標反算公式(8-56)1,

適用於電算的高斯投影計算公式

1．高斯投影正算公式：

式中，x，y分別爲高斯平面縱座標與橫座標，爲子午線收斂角，單位爲度。

X爲子午線弧長，對於克氏橢球：

對於“IAG 75”橢球：

其餘符號爲：

，稱作第二偏心率；，稱作極曲率半徑。爲中央子午線經度。

對於克氏橢球：

對於“IAG 75”橢球：

算出的橫座標y應加上500公里，再在前冠以帶號，纔是常見的橫座標形式。

2．高斯投影反算公式：

  式中，爲底點緯度，以度爲單位。，其餘符號同正算公式，只是以底點緯度代替大地緯度。