最近一直再看屬性選擇和聚類方向的論文，其中一直有提到manifold這個概念，從網絡上學習一波，將學習結果記錄下來給大家分享
流形是一種空間，一個流形好比是一個 d 維的空間，在一個 m 維的空間中 (m > d) 被扭曲之後的結果（一般維度壓縮的方法中都會提到這個詞，譜聚類中就有涉及這個思想，稍後再說），可以類似於地球，地球的表面是一個球面。
流形的距離度量方法不能簡單地使用歐式距離求任意兩點地距離。假設現在需要求從北極到達南極距離，不可能把地球打穿直線到達，根據實際情況可以知道，北極到達南極的距離應該是半個圓周的長度。舉個例子如下（引用qrlhl 的圖片）
這是一個三維的平面，圖中有很多點，其中有兩個重點標註的數據點，要求這兩個數據點的距離，如果用歐式距離來計算，得到的距離值會很小，明顯小於圖中紅線地長度。這個時候應該怎麼求流形中數據點之間地距離呢？
方法有很多，在這裏我們介紹一種比較常用地流形距離度量方法Laplacian Eigenmaps （譜聚類)
在譜聚類地算法思想中求解出拉普拉斯矩陣L，通過求解L對應的最小的K個特徵值對應的k個特徵向量（相當於是得到了k個新的空間？維度），可以將m*n（m指的是m個數據，n指的是數據的屬性個數）的原數據矩陣壓縮成m*k的數據矩陣，此時新的數據矩陣的第i行第j列代表的就是原始數據i在第j個維度上的值，此時再用歐式距離的方法去求解新數據矩陣的某兩行的距離（任意兩個數據點的距離），就可以避免出現上圖的錯誤（直接套歐式距離的度量公式）
總結，流體是一種扭曲的空間，他的距離度量公式比較複雜，但是已經有很多處理這個問題的方法，如Locally Linear Embedding 、Laplacian Eigenmaps 、Hessian Eigenmaps 、Local Tangent Space Alignment、Semidefinite Embedding (Maximum Variance Unfolding) 等等等等，