動態規劃（三）最長遞增子序列

題目描述

最長遞增子序列（LIS），找到一個給定序列的最長子序列的長度，而且這個子序列是按照遞增順序排列。
例如：輸入{10,20,9,33,21,50}。
輸出爲：4 ，LIS = {10,20,33,50}

分析

最優子結構：
對於數組A[n],建立數組ls[n],ls[i]保存以A[i]爲結尾的遞增子序列的長度。那麼ls[i] = max(ls[j ]) +1,(j< i && A[j] < A[i])。ls[j]也是一個最優子結構，我們遍歷i之前的所有位置j,找出A[j] < A[i],找到最大的ls[j]的j,然後求出ls[i]。
以結尾元素的位置爲順序，進行從小到大的求解。
重疊子問題：
求ls[4]時要求ls[3],ls[2],ls[1]
求ls[3]時要求ls[2],ls[1]
部分問題重複計算，符合動態規劃的性質

動態規劃方法

#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>

int lis(int * s,int n)
{
    int *ls = (int *)malloc(n*sizeof(int));
    int i,j;
    int max =0;
    for(i = 0;i< n;i++)
    {
        ls[i] = 1;
    }
    for(i = 1;i<n;i++)  //結尾元素位置
    {
        for(j= 0;j< i;j++)
        {
            if(s[j] < s[i]&& ls[j]+1 > ls[i])
                ls[i] = ls[j]+1;
        }
    }
    for(i = 0;i<n;i++)
    {
        if(ls[i] > max)
            max = ls[i];
    }
    free(ls);
    return max;
}
int main()
{
    int a[] = {10,22,9,33,2};
    int n =sizeof(a)/sizeof(a[0]); 
    printf("%d\n",lis(a,5));
    return 0;
}

時間複雜度爲O（n^2）。