漢諾塔問題探討

漢諾塔問題探討

原題目

​ 有三根柱子，每根柱子上一開始都是空的。我們把這三個柱子編號爲1, 2, 3，現在，第一根柱子上有N 個盤子按照尺寸從小到大排列，我們的目的是把這些盤子按順序從第一根柱子轉移到第三根上。在移動過程中有要求，即每個柱子上要想往上疊加盤子，只能疊加比它尺寸小的盤子。那麼我們該怎麼挪？

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思路

​ 我們先想這樣一個思路，就是我們先定義一個函數kansu(x,y,z) ，這個函數的功能是把x 柱子上的y 個盤子按照順序移動到z 柱子上。在想的過程中，一定不要考慮要怎麼移動，只要知道我們要移動就好了。這樣，調用一遍kansu(A,N−1,B) ，現在B 柱子上就有依次疊好的N−1 個盤子了，A 上就只剩下最大的那一個，C 上一個也沒有。現在我們分析一下，A 上只有一個最大的，也就是說可以在A 上放置任意一個盤子。那麼，把A 上剩下的那個最大的移動到C 上，那麼C 上的那個就是最大的了。現在，A 是空的，B 上有N−1 個，C 上有一個最大的。

​ 這裏大家注意一下，一開始A 柱子上有N 個盤子，B 柱子和C 柱子上都沒有盤子，而現在A 上沒有，B 上N−1 個，C 上一個最大的。正因爲C 上有一個最大的，所以上面可以放任意一個盤子，也就等價於空的。這樣，我們就把我們要解決的移動N 個盤子的問題簡化成了移動N−1 個盤子的問題（只是位置不同），而這正是利用了遞歸的思想。

​ 現在我們完成了把一個最大的挪到C 上的任務了，那麼我們最終的任務就明瞭了，就是把每次的最大的挪到C 柱子上，這樣最大的越積越多，積到N 個我們就得到結果了。

僞代碼

S1:利用Kansu(A, N - 1, B)將A上的N - 1個盤子按照順序移動到B柱子上
S2:利用Move(A, C)將A柱子上剩下的一個最大的盤子移動到C柱子上
S3:利用Kansu(B, N - 2, A)將B上的N - 2個盤子按照順序移動到B柱子上
......
最後在一個一個Move的過程中，C上就按照從大到小的順序壘好了N個盤子。

C++代碼

#include <cmath>
#include <iostream>

void Hanoi(const int n, const int A, const int B, const int C)
{

    if (n > 0)
    {
        Hanoi(n - 1, A, C, B);
        std::cout << n << " from " << char (64 + t.x)  << " to " << char (64 + t.y) << '\n';
        Hanoi(n - 1, C, A, B);
    }
}


int main(int argc, char ** argv)
{
    int n;
    std::cin >> n;
    std::cout << std::pow(2, n) - 1 << std::endl;
    // 2^n - 1 表示步數總數
    Hanoi(n, 1, 3, 2);
    return 0;
}