程序員的數學系列（一）

程序員的數學系列閱讀筆記，第一部分介紹數學基礎，還有一些有趣的數學問題

第1章 0的故事

無即是有，zero matters

10進制

2503

2×103+5×102+0×101+3×100$2_{\times {10}^3}+5_{\times {10}^2}+0_{\times {10}^1}+3_{\times {10}^0}$

2進制

1100

1×23+1×22+0×21+0×20$1_{\times 2^3}+1_{\times 2^2}+0_{\times 2^1}+0_{\times 2^0}$

基數轉換

• 2進製表示12
  
  計算機計算過程：(21+19)−→−−−−−轉換爲2進制(10101+10011)−→−−−−−−使用2進制計算(101000)−→−−−−−轉換爲10進制(40)$(21+19)\stackrel{轉換爲2進制}{\to }(10101+10011)\stackrel{使用2進制計算}{\to }(101000)\stackrel{轉換爲10進制}{\to }(40)$

指數法則

103−→110102−→110101−→110100=1${10}^3\stackrel{\frac{1}{10}}{\to }{10}^2\stackrel{\frac{1}{10}}{\to }{10}^1\stackrel{\frac{1}{10}}{\to }{10}^0=1$

25−→1224−→11023−→1222−→1221−→1220−→122−1=12$2^5\stackrel{\frac{1}{2}}{\to }{2}^4\stackrel{\frac{1}{10}}{\to }{2}^3\stackrel{\frac{1}{2}}{\to }{2}^2\stackrel{\frac{1}{2}}{\to }{2}^1\stackrel{\frac{1}{2}}{\to }{2}^0\stackrel{\frac{1}{2}}{\to }{2}^{-1}=\frac{1}{2}$

指數法則

Na×\Nb=Na+b(N≠0)$$N^a\times {\text{N}}^b=N^{a+b}(N\ne 0)$$

0所起的作用

• 佔位

  2503， 表示10位什麼都沒有

• 統一標準，簡化規則

  按位計數就可統一寫爲

  ak×10k$a_k\times {10}^k$

  n=3,a3=2,a2=5,a1=0,a0=3→2503$n=3,a_3=2,a_2=5,a_1=0,a_0=3\to 2503$

• 0表示沒有

  有規律地服用一種膠囊，每4天停用一次。也就是3天服用，1天停用。於是每4粒膠囊中有1粒是“沒有藥效”的假膠囊，放入標有日期的盒子並放入每天需要服用的藥，以後就只用每天服用。

第2章 邏輯

真與假的二元世界

邏輯是消除歧義得工具

兼顧完整性和排他性

沒有遺漏，沒有重複

邏輯非

A$A$	¬A$\mathrm{\neg }A$
true	false
false	true

雙重否定表肯定

A$A$	¬A$\mathrm{\neg }A$	¬¬A$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A$
true	false	true
false	true	false

邏輯與

A∧B(AandB)$A\wedge B(AandB)$

真值表

A$A$	B$B$	A∧B$A\wedge B$
true	true	true
true	false	false
false	true	false
false	false	false

文氏圖

文氏圖表示¬(A∧B)$\mathrm{\neg }(A\wedge B)$

邏輯或

A∨B(AorB)$A\vee B(AorB)$

真值表

A$A$	B$B$	A∨B$A\vee B$
true	true	true
true	false	true
false	true	true
false	false	false

文氏圖

文氏圖表示(¬A)∨(¬B)$(\mathrm{\neg }A)\vee (\mathrm{\neg }B)$

異或

A⊕B$A\oplus B$
真值表

A$A$	B$B$	A∨B$A\vee B$
true	true	false
true	false	true
false	true	true
false	false	false

文氏圖

相等

A=B$A=B$
真值表

A$A$	B$B$	A=B$A=B$
true	true	true
true	false	false
false	true	false
false	false	true

文氏圖

¬(A⊕B)→(A=B)$\mathrm{\neg }(A\oplus B)\to (A=B)$

蘊含—若A則B

A⟹B$A⟹B$
真值表

A$A$	B$B$	A⟹B$A⟹B$
true	true	true
true	false	false
false	true	true
false	false	true

A爲true時，僅當B爲false時A⟹B$A⟹B$ 才爲false
A爲false時，A⟹B$A⟹B$ 恆爲true

此爲邏輯上“如果”的定義

我們平時說的“若A則B”有兩種情況

1. 若A爲true，則B也爲true。若A爲false，則B也爲false
2. 若A爲true，則B也爲true。但是，若A爲false時，則B爲true/false都可以（對B沒有任何影響）

在邏輯上二者的區別在於，1是A=B$A=B$ ，2是A⟹B$A⟹B$

文氏圖，(¬A)∨B$(\mathrm{\neg }A)\vee B$ 的文氏圖也是這樣，於是(¬A∨B)⟺(A⟹B)$(\mathrm{\neg }A\vee B)⟺(A⟹B)$ ，二者等價

B⟹A$B⟹A$ 爲A⟹B$A⟹B$ 的逆命題，逆命題不一定爲真

(¬B)⟹(¬A)$(\mathrm{\neg }B)⟹(\mathrm{\neg }A)$ 的文氏圖也和A⟹B$A⟹B$ 的相同(二者等價)，即，((¬B)⟹(¬A))⟺(A⟹B)$((\mathrm{\neg }B)⟹(\mathrm{\neg }A))⟺(A⟹B)$
此爲A⟹B$A⟹B$ 的逆否命題

德·摩根定律

(¬A)∨(¬B)=¬(A∧B)$(\mathrm{\neg }A)\vee (\mathrm{\neg }B)=\mathrm{\neg }(A\wedge B)$

(¬A)∧(¬B)=¬(A∨B)$(\mathrm{\neg }A)\wedge (\mathrm{\neg }B)=\mathrm{\neg }(A\vee B)$

三值邏輯的德·摩根定律

(!A)∨(!B)=!(A∧B)$(!A)\vee (!B)=!(A\wedge B)$
(!A)∧(!B)=!(A∨B)$(!A)\wedge (!B)=!(A\vee B)$

if (!(x >= 0 && y >= 0)) {
    .....
}
// equal to
if (x < 0 || y < 0) {
    ....
}

本章小結

邏輯的各種表現形式

if語句將世界一分爲二，條件成立的世界和條件不成立的世界

第3章 餘數

週期性和分組

星期數問題

今天是星期日，100天后是星期幾？

1億天呢？

10100${10}^{100}$ 天后呢？

100÷7=14...2$100÷7=\mathrm{14...2}$

因此100天后是星期二

108÷7=14285714...2${10}^8÷7=\mathrm{14285714...2}$

因此1億天後是星期二

0的個數	數字	除以7的餘數	星期數
0	1	1	一
1	10	3	三
2	100	2	二
3	1000	6	六
4	10000	4	四
5	100000	5	五
6	1000000	1	一
7	10000000	3	三
8	100000000	2	二
9	1000000000	6	六
10	10000000000	4	四
11	100000000000	5	五
12	1000000000000	1	一

餘數以1、3、2、6、4、5···的順序循環

100÷6=16...4$100÷6=\mathrm{16...4}$

餘數爲4，因此10100${10}^{100}$ 天后是星期四

直觀地把握規律

第n天是星期幾

第10n${10}^n$ 天是星期幾

乘方得思考題

1234567987654321${1234567}^{987654321}$ 的個位數是什麼

試算：

12345670${1234567}^0$ 的個位數=70$7^0$ 的個位=1

12345671${1234567}^1$ 的個位數=71$7^1$ 的個位=7

12345672${1234567}^2$ 的個位數=72$7^2$ 的個位=9

12345673${1234567}^3$ 的個位數=73$7^3$ 的個位=3

12345674${1234567}^4$ 的個位數=74$7^4$ 的個位=1

12345675${1234567}^5$ 的個位數=75$7^5$ 的個位=7

12345676${1234567}^6$ 的個位數=76$7^6$ 的個位=9

12345677${1234567}^7$ 的個位數=77$7^7$ 的個位=3

12345678${1234567}^8$ 的個位數=78$7^8$ 的個位=1

12345679${1234567}^9$ 的個位數=79$7^9$ 的個位=7

週期爲4，用987654321對4取餘0、1、2、3其中之一，它們分別對應1、7、9、3

餘1，所以個位數是7

黑白棋通信

1. 桌面隨機7枚黑白棋棋子，魔術師蒙着眼睛，看不到棋子
   
2. 魔術師徒弟看完7枚棋子後，又放進一枚，這時桌面有8枚棋子
   
3. 觀衆可以選擇翻轉一枚或者不翻轉任何棋子，此時觀衆和徒弟都不能說話
4. 魔術師觀察8枚棋子，馬上就能判斷觀衆是不是翻轉了棋子