高等數學系列一：中學回顧

高等數學系列一：中學回顧

1. 鄰域

U(a,δ)≜{x |  |x−a|<δ}=(a−δ,a+δ)$U(a,\delta )\triangleq \{x||x-a|<\delta \}=(a-\delta ,a+\delta )$

U(a,δ)$U(a,\delta )$ 爲a的δ$\delta$ 鄰域
U˚(a,δ)≜{x|0<|x−a|<δ}$\mathring{U}(a,\delta )\triangleq \{x|0<|x-a|<\delta \}$

U˚(a,δ)$\mathring{U}(a,\delta )$ 爲a的去心δ$\delta$ 鄰域，左鄰域，右鄰域

2.初等特性

①奇偶性

y=f(x),x∈D,D關於原點對稱$y=f(x),x\in D,D關於原點對稱$

若{f(−x)=−f(x), y=f(x)爲奇函數f(−x)=f(x), y=f(x)爲偶函數$\{\begin{array}{l}f(-x)=-f(x)\text{, }y=f(x)爲奇函數\\ f(-x)=f(x)\text{, }y=f(x)爲偶函數\end{array}$

反函數：函數單調

y=f(x)(x∈D)$y=f(x)(x\in D)$

y=f(x)⇒x=ϕ(y)$y=f(x)\Rightarrow x=\varphi (y)$

例1. y=ln(x+x2+1−−−−−√)$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

①奇偶性

x∈(−∞,+∞)$x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ ,x$x$ 關於原點對稱

f(−x)=ln−x+x2+1−−−−−√=ln1x+x2+1√=−ln(x+x2+1−−−−−√)=−f(x)$$\begin{gathered} f(-x)=\ln -x+\sqrt{x^2+1} \\ =\ln \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ =-ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ =-f(x) \end{gathered}$$

y=ln(x+x2+1−−−−−√)$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 是奇函數

②反函數

{x+x2+1−−−−−√=ey①−x+x2+1−−−−−√=e−y②$\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2+1}=e^y①\\ -x+\sqrt{x^2+1}=e^{-y}②\end{array}$

①−②⇒2x=ey−e−y⇒x=ey−e−y2$①-②\Rightarrow 2x=e^y-e^{-y}\Rightarrow x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$

反函數爲：x=ey−e−y2$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$

②有界性

y=f(x)(x∈D)$y=f(x)(x\in D)$

當∃M>0,∀x∈D$\mathrm{\exists }M>0,\mathrm{\forall }x\in D$ ,有|f(x)|≤M$|f(x)|\le M$

則f(x)$f(x)$ 在D$D$ 上有界

若f(x)≥M1$f(x)\ge M_1$ ,則f(x)$f(x)$ 有下界或

若f(x)≤M2$f(x)\le M_2$ ,則f(x)$f(x)$ 有上界

例.

−2≤f(x)≤3⇒|f(x)|≤3$-2\le f(x)\le 3\Rightarrow |f(x)|\le 3$

③增減性

y=f(x)(x∈D)$y=f(x)(x\in D)$

若∀x1,x2∈D且x1<x2$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in D且x_1<x_2$ ,有f(x1)<f(x2)$f(x_1)<f(x_2)$

則y=f(x)$y=f(x)$ 在x∈D$x\in D$ 上嚴格遞減

另有單調遞增，單調不減，單調不增

3.幾個特殊函數

①符號函數

sgn(x)≜⎧⎩⎨−1x<00x=01x>0$sgn(x)\triangleq \{\begin{array}{l}-1x<0\\ 0x=0\\ 1x>0\end{array}$

例.

|x|=x×sng(x)$|x|=x\times sng(x)$

②取整函數

[x]≜$[x]\triangleq$ 最接近x$x$ 左邊的整數，即向下取整

• [x]≤x$[x]\le x$

• [x+m]=[x]+mm∈Z$[x+m]=[x]+mm\in Z$

• [x+y]≠[x]+[y]$[x+y]\ne [x]+[y]$

  [0.5+0.7]=1[0.5]+[0.7]=0$$\begin{gathered} [0.5+0.7]=1 \\ [0.5]+[0.7]=0 \end{gathered}$$

③Dirichlet函數

D(x)≜{1x∈Θ0x∈R|Θ$D(x)\triangleq \{\begin{array}{l}1x\in \mathrm{\Theta }\\ 0x\in R|\mathrm{\Theta }\end{array}$