本文將結合matlab代碼講解SAR距離向成像問題。
本文只研究距離向，且是正側視情況。
文中以同一方位向座標上四個目標點的成像爲例，這四個目標的關係如下：
目標的相關信息：
% 關於目標
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Xc=2.e3; % Range distance to center of target area
X0=50; % target area in range is within [Xc-X0,Xc+X0]
ntarget=4; % number of targets
%%%%%%%%%%%%% Targets' parameters %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% xn: range; fn: reflectivity 發射係數
%
xn(1)=0; fn(1)=1;
xn(2)=.7*X0; fn(2)=.8;
xn(3)=xn(2)+2*dx; fn(3)=1.;
xn(4)=-.5*X0; fn(4)=.8;
%注意這裏的xn是相對於中間的Xc的位置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 關於發射信號
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
colormap(gray(256))
cj=sqrt(-1);
pi2=2*pi;
%
c=3e8; % Propagation speed
B0=100e6; % Baseband bandwidth is plus/minus B0 注意這裏的帶寬是2B0
w0=pi2*B0;
fc=1e9; % Carrier frequency
wc=pi2*fc;
Tp=.1e-6; % Chirp pulse duration
alpha=w0/Tp; % Chirp rate
wcm=wc-alpha*Tp; % Modified chirp carrier 即是式子中的beta
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 問題的描述
成像的過程只要分爲兩步： 發射信號到接收信號；後處理，即接收信號到影像 如圖：
第一步是個正問題，主要由硬件完成，第二步是個逆問題，主要由軟件完成。
第一個問題的輸入
第二個問題的輸入是
理想情況下
2 問題的分析和解決
其實問題的解決辦法在上一個圖中已經暗示了，他就是匹配濾波技術，這個技術我們已經在“急救箱系列”分析過了。但是面對實際問題，還是有許多問題需要說明，尤其是像我這樣的新手。
2.1 再談匹配濾波
匹配濾波的實施公式：
其中
接着推導匹配濾波的實施公式得到：
其中
這樣就得到了我們的問題的答案：
這裏的轉換時用到了時間和距離的比例關係：
利用這個關係同樣可以得到距離域的點擴散函數。
2.2 採樣
這個問題是必然會碰見的問題，因爲我們要進行的是“數字處理”。這裏的關鍵問題有：
-
採樣間隔，這個由信號帶寬2B 0 決定：
δt<=1/2B 0 =π/ω 0 -
採樣起止時刻：
T s =2(X c −X 0 )c
T f =2(X c +X 0 )c + T p
其中，T p 表示信號持續的時間，最後加上這一項是爲了避免出現回波信號中含有部分波的情況。 -
採樣的時間段：
t∈[T s ,T f ]
T f −T s =4X 0 c + T p -
採樣點數：
n=2∗ceil((.5∗(Tf−Ts))/dt)
取這麼多采樣點是考慮到離散傅里葉變換的問題。 -
空間域和頻率域採樣序列：
x i =ct i 2 =(X c −X 0 )+(i−1)cδt2
ω i =ω c +(i−n2 −1)δω
δω=2πnδt
該部分的代碼是：
% 採樣問題
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dt=pi/(2*alpha*Tp); % Time domain sampling (gurad band plus minus
% 50 per) or use dt=1/(2*B0) for a general
% radar signal
%
Ts=(2*(Xc-X0))/c; % Start time of sampling
Tf=(2*(Xc+X0))/c+Tp; % End time of sampling
% Measurement parameters
n=2*ceil((.5*(Tf-Ts))/dt); % Number of time samples
t=Ts+(0:n-1)*dt; % Time array for data acquisition
dw=pi2/(n*dt); % Frequency domain sampling
w=wc+dw*(-n/2:n/2-1); % Frequency array (centered at carrier)
x=Xc+.5*c*dt*(-n/2:n/2-1); % range bins (array); reference signal is
% for target at x=Xc.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.3 結果
四個目標的回波信號對應的代碼是：% 獲得回波信號
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
s=zeros(1,n); % Initialize echoed signal array
%暫時可以忽略
na=8; % Number of harmonics in random phase
ar=rand(1,na); % Amplitude of harmonics
ter=2*pi*rand(1,na); % Phase of harmonics
for i=1:ntarget;
td=t-2*(Xc+xn(i))/c;
%注意這裏的時間是對採樣時間序列的一個延遲，另外有一個平移
%這個要跟後面的參考信號也就是匹配濾波器對應上，而且他會影響恢復出來的f(x)的解譯
pha=wcm*td+alpha*(td.^2); % Chirp (LFM) phase
for j=1:na; % Loop for CPM harmonics 相位調製！可以暫時忽略
pha=pha+ar(j)*cos((w(n/2+1+j)-wc)*td+ter(j));
end;
s=s+fn(i)*exp(cj*pha).*(td >= 0 & td <= Tp); %回波信號 注意是各個目標的回波信號的疊加
%特別注意這裏的Tp，是脈衝持續的時間
end;% Reference echoed signal
%
td0=t-2*(Xc+0)/c;
%注意這裏的時間參考點
%這個要跟前面的回波信號的時間對應上，而且他會影響恢復出來的f(x)的解譯
pha0=wcm*td0+alpha*(td0.^2); % Chirp (LFM) phase
for j=1:na; % Loop for CPM harmonics
pha0=pha0+ar(j)*cos((w(n/2+1+j)-wc)*td0+ter(j));
end;
s0=exp(cj*pha0).*(td0 >= 0 & td0 <= Tp);% Baseband conversion 解調
% 這裏和該系列前面講的正交解調還是不一樣的，當時討論過
% 爲什麼會出來了複數圖像，現在看來，這個問題有點幼稚。
% 線性調頻信號本身就可以表示成複數，回波信號也是。
% 任何一個數只要我們願意，都可以在形式上表示成複數（無非實數的虛數部分爲零嘛）。
% 不應該覺得複數是什麼奇怪的事情，而應該覺得它實實在在，就在那裏，這是見得少了罷了。
%
sb=s.*exp(-cj*wc*t);
sb0=s0.*exp(-cj*wc*t);
plot(t,real(sb))%只是顯示了振幅
xlabel('Time, sec')
ylabel('Real Part')
title('Baseband Echoed Signal')
axis('square')
axis([Ts Tf 1.1*min(real(sb)) 1.1*max(real(sb))])
print P1.1a.ps
pause(1)
%
plot(t,real(sb0))
xlabel('Time, sec')
ylabel('Real Part')
title('Baseband Reference Echoed Signal')
axis('square')
axis([Ts Tf 1.1*min(real(sb0)) 1.1*max(real(sb0))])
print P1.2a.ps
pause(1)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
注意圖中只是畫出了振幅信息，而忽略了相位信息，實際上相位信息是非常有用的，特別是在有的應用中。
匹配濾波及結果：
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目標函數重建
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Fourier Transform
%
fsb=fty(sb);
fsb0=fty(sb0);
% Power equalization
% 這裏是對參考信號做了一個處理，暫時可以先忽略
mag=abs(fsb0);
amp_max=1/sqrt(2); % Maximum amplitude for equalization
afsb0=abs(fsb0);
P_max=max(afsb0);
I=find(afsb0 > amp_max*P_max);
nI=length(I);
fsb0(I)=((amp_max*(P_max^2)*ones(1,nI))./afsb0(I)).* ...
exp(cj*angle(fsb0(I)));
%
% Apply a window (e.g., power window) on fsb0 here
%
E=sum(mag.*abs(fsb0));
%
% Matched Filtering
%
fsmb=fsb.*conj(fsb0);
%
%
% Inverse Fourier Transform
%
smb=ifty(fsmb); % Matched filtered signal (range reconstruction)
%
% Display
%
plot(x,(n/E)*abs(smb))
xlabel('Range, meters')
ylabel('Magnitude')
title('Range Reconstruction Via Matched Filtering')
axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1]); axis('square')
print P1.6a.ps
pause(1)
3 如果不採用匹配濾波技術
如果不採用匹配濾波技術，可以用一種叫pulse compression的方法。但是它對信號的形式有一定的限制，比如線性調頻信號。上面介紹的匹配濾波方法並不侷限於線性調頻信號。
代碼：
% 另一種方法Time domain Compression
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%解調並壓縮
td0=t-2*(Xc+0)/c;
scb=conj(s).* ...
exp(cj*wcm*td0+cj*alpha*(td0.^2)); % Baseband compressed signal
%
plot(t,real(scb))
xlabel('Time, sec')
ylabel('Real Part')
title('Time Domain Compressed Signal')
axis('square')
print TimeDomainCompressedSignal.png
pause(1)
%因爲上面的信號包含了與目標的位置相關的頻率成分，所以只要進行一個傅里葉變換即可得到問題的解。
fscb=fty(scb);
X=(c*(w-wc))/(4*alpha); % Range array for time domain compression 注意參考點
plot(X+Xc,(dt/Tp)*abs(fscb)) %?
xlabel('Range, meters')
ylabel('Magnitude')
title('Range Reconstruction Via Time Domain Compression')
axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1]); axis('square')
%axis([Xc-X0 Xc+X0 0 1.1*max(abs(fscb))]); axis('square')
pause(1)
說明：
觀察上面的結果和匹配濾波得到的結果可以發現明顯的不同，這裏的原因我暫時也不是特別清楚，也可能是這段代碼有問題。但是必須注意到：這肯定是由於信號的壓縮造成的。這個後面再回來說。
以上所有的分析中有一個問題被我掩蓋了，那就是幅寬問題，如果幅寬很大，以上的分析沒有問題，但是如果幅寬相對脈衝持續時間比較小，會帶來一個問題，這個問題的解決需要在匹配濾波的過程中添加一些步驟。
未完待續。