哈夫曼樹與哈夫曼編碼

在一般的數據結構的書中，樹的那章後面，著者一般都會介紹一下哈夫曼(HUFFMAN)樹和哈夫曼編碼。哈夫曼編碼是哈夫曼樹的一個應用。哈夫曼編碼應用廣泛，如JPEG中就應用了哈夫曼編碼。首先介紹什麼是哈夫曼樹。哈夫曼樹又稱最優二叉樹，是一種帶權路徑長度最短的二叉樹。所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中所有的葉結點的權值乘上其到根結點的路徑長度（若根結點爲0層，葉結點到根結點的路徑長度爲葉結點的層數）。樹的帶權路徑長度記爲WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N個權值Wi(i=1,2,...n)構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑長度爲Li(i=1,2,...n)。可以證明哈夫曼樹的WPL是最小的。

哈夫曼編碼步驟：

一、對給定的n個權值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}構成n棵二叉樹的初始集合F={T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉樹Ti中只有一個權值爲Wi的根結點，它的左右子樹均爲空。（爲方便在計算機上實現算法，一般還要求以Ti的權值Wi的升序排列。）

二、在F中選取兩棵根結點權值最小的樹作爲新構造的二叉樹的左右子樹，新二叉樹的根結點的權值爲其左右子樹的根結點的權值之和。

三、從F中刪除這兩棵樹，並把這棵新的二叉樹同樣以升序排列加入到集合F中。

四、重複二和三兩步，直到集合F中只有一棵二叉樹爲止。

 

簡易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五個字符，出現的頻率（即權值）分別爲5,4,3,2,1,那麼我們第一步先取兩個最小權值作爲左右子樹構造一個新樹，即取1，2構成新樹，其結點爲1+2=3，如圖：

虛線爲新生成的結點，第二步再把新生成的權值爲3的結點放到剩下的集合中，所以集合變成{5,4,3,3}，再根據第二步，取最小的兩個權值構成新樹，如圖：

再依次建立哈夫曼樹，如下圖：

其中各個權值替換對應的字符即爲下圖：

所以各字符對應的編碼爲：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

 

霍夫曼編碼是一種無前綴編碼。解碼時不會混淆。其主要應用在數據壓縮，加密解密等場合。

 

C語言代碼實現：

/**
 *Name:   哈夫曼編碼源代碼。
 *Date:   2011.04.16
 *Author: Jeffrey Hill+Jezze(解碼部分)
 * 在 Win-TC 下測試通過
 * 實現過程：着先通過HuffmanTree() 函數構造哈夫曼樹，然後在主函數 main()中
 *          自底向上開始(也就是從數組序號爲零的結點開始)向上層層判斷，若在
 *          父結點左側，則置碼爲 0,若在右側,則置碼爲 1。最後輸出生成的編碼。
 */
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
 
#define MAXBIT      100
#define MAXVALUE    10000
#define MAXLEAF     30
#define MAXNODE     MAXLEAF*2 -1
 
typedef struct{
    int bit[MAXBIT];
    int start;
} HCodeType; /* 編碼結構體 */

typedef struct{
    int weight;
    int parent;
    int lchild;
    int rchild;
    int value;
} HNodeType; /* 結點結構體 */
 
/* 構造一顆哈夫曼樹 */
void HuffmanTree(HNodeType HuffNode[MAXNODE], int n)
{
    /* i、j：循環變量，m1、m2：構造哈夫曼樹不同過程中兩個最小權值結點的權值，
       x1、x2：構造哈夫曼樹不同過程中兩個最小權值結點在數組中的序號。*/
    int i, j, m1, m2, x1, x2;
    /* 初始化存放哈夫曼樹數組 HuffNode[] 中的結點 */
    for(i=0; i<2*n-1; i++)
    {
        HuffNode[i].weight = 0;//權值
        HuffNode[i].parent = -1;
        HuffNode[i].lchild = -1;
        HuffNode[i].rchild = -1;
        HuffNode[i].value  = i; //實際值，可根據情況替換爲字母 
    } /* end for */
 
    /* 輸入 n 個葉子結點的權值 */
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        printf("Please input weight of leaf node %d: \n", i);
        scanf("%d", &HuffNode[i].weight);
    } /* end for */
 
    /* 循環構造 Huffman 樹 */
    for(i=0; i<n-1; i++)
    {
        m1 = m2 = MAXVALUE; /* m1、m2中存放兩個無父結點且結點權值最小的兩個結點 */
        x1 = x2 = 0;
        /* 找出所有結點中權值最小、無父結點的兩個結點，併合並之爲一顆二叉樹 */
        for (j=0; j<n+i; j++)
        {
            if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)
            {
                m2 = m1;
                x2 = x1;
                m1 = HuffNode[j].weight;
                x1 = j;
            }
            else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)
            {
                m2 = HuffNode[j].weight;
                x2 = j;
            }
        } /* end for */
        /* 設置找到的兩個子結點 x1、x2 的父結點信息 */
        HuffNode[x1].parent  = n+i;
        HuffNode[x2].parent  = n+i;
        HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;
        HuffNode[n+i].lchild = x1;
        HuffNode[n+i].rchild = x2;
 
        printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1,HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight); /* 用於測試 */
        printf ("\n");
    } /* end for */
} /* end HuffmanTree */
 
/* 解碼 */
void decodeing(char string[],HNodeTypeBuf[],int Num)
{
    int i,tmp=0,code[1024];
    int m = 2*Num-1;
    char *nump;
    char num[1024];
    for(i=0; i<strlen(string); i++)
    {
        if(string[i] == '0')
            num[i] = 0;       
        else
            num[i] = 1;                   
    }
    i = 0;
    nump = &num[0];
 
    while(nump<(&num[strlen(string)]))
    {
        tmp=m-1;
        while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))
        {
            if(*nump == 0)
                tmp = Buf[tmp].lchild;
            else 
                tmp = Buf[tmp].rchild;
            nump++;
        }
        printf("%d", Buf[tmp].value);                                 
    }
}
 
int main()
{
    HNodeType HuffNode[MAXNODE]; /* 定義一個結點結構體數組 */
    /* 定義一個編碼結構體數組，同時定義一個臨時變量來存放求解編碼時的信息 */
    HCodeTypeHuffCode[MAXLEAF],  cd;   
    int i, j, c, p, n;
    char pp[100];
    printf("Please input n:\n");
    scanf("%d", &n);
    HuffmanTree(HuffNode, n);
    for(i=0; i < n; i++)
    {
        cd.start = n-1;
        c = i;
        p = HuffNode[c].parent;
        while (p != -1) /* 父結點存在 */
        {
            if (HuffNode[p].lchild == c)
                cd.bit[cd.start] = 0;
            else
                cd.bit[cd.start] = 1;
            cd.start--; /* 求編碼的低一位 */
            c = p;                   
            p = HuffNode[c].parent; /* 設置下一循環條件 */
        } /* end while */
       
        /* 保存求出的每個葉結點的哈夫曼編碼和編碼的起始位 */
        for (j=cd.start+1; j<n; j++)
            HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];
        HuffCode[i].start = cd.start;
    }/* end for */
   
    /* 輸出已保存好的所有存在編碼的哈夫曼編碼 */
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        printf ("%d 's Huffman code is: ", i);
        for(j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)
        {
            printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);
        }
        printf(" start:%d",HuffCode[i].start);
        printf ("\n");
    }
    printf("Decoding?Please Enter code:\n");
    scanf("%s", &pp);
    decodeing(pp, HuffNode, n);
    getch();
    return 0;
}