二分搜索專題

二分搜索基礎知識

一、二分搜索常見的應用場景

1、在有序序列中查找一個數

arr: ... .... ...mid ... ... ... n

2、並不是非要在有序序列中才能得到應用

二、二分搜索常見的考察點

1、對於邊界條件的考察以及代碼實現的能力。

三、二分搜索常見題目的變化

1、給定處理或查找的對象不同

2、判斷條件不同、

3、要求返回的內容不同

4、在有序循環數組中進行二分搜索。1，2，3，4，5循環之後可以是：1，2，3，4，5或2，3，4，5，1或3，4，5，1，2或4，5，1，2，3或5，1，2，3，4

四、二分搜索的注意事項

mid = (left +right)/2 當數組下標較大的時候容易產生溢出。

更安全的寫法：mid = left + (right - left)/2

五、二分搜索的代碼實現

def binary_search(list,key):
    left,right = 0,len(list)
    while left < right:
        mid = left + (right-left)/2
        if list[mid] == key:
            return mid
        elif list[mid] > key:
            right = mid-1
        else:
            left = mid+1
    return -1

二分搜索經典案例

案例一：

給定一個無序數組arr，已知任意相鄰的兩個元素，值都不重複。請返回任意一個局部最小的位置。

所謂局部最小的位置是指，如果arr[0]<arr[1]，那麼位置0就是一個局部最小的位置。如果arr[N-1](也就是arr最右的數）小於arr[N-2]，那麼位置N-1也是局部最小的位置。如果位置 i 既不是最左位置也不是最右位置。那麼只要滿足arr[i]同時小於它左右兩側的值即（arr[i-1]和arr[i+1]），那麼位置i也是一個局部最小的位置。

思路：

本題依然可以用二分搜索來實現，時間複雜度爲O(logN)

1、arr爲空或長度爲0，返回-1，表示局部最小位置不存在。

2、如果arr長度爲1，返回0，因爲此時0是局部最小位置。

3、如果arr長度大於1。首先檢查兩頭的位置，考察arr[0]<arr[1] 如果是，直接返回arr[0] ，同樣如果arr[n-1]<arr[n-2]，直接返回arr[n-1]，如果兩頭的位置都不是局部最小，那麼考察中間位置mid的情況，如果mid的值既小於左邊第一個值，又小於右邊第一個值。那麼此時mid就是局部最小的值，返回即可。如果mid比左邊的小，而比右邊的大，那麼在mid的左邊一定存在局部最小的情況，此時可以直接對左部分進行同樣邏輯的二分搜索。反之在mid的右邊一定存在局部最小的情況，對右部分繼續進行同樣邏輯的二分搜索。如果mid位置的數比左右都大，說明左右兩邊都存在局部最小的情況。

案例二：

給定一個有序數組arr，在給定一個整數num，請在arr中找到num這個數出現的最左邊的位置。

思路：

這裏我們以數組[1,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4]爲例，num = 3

1、先生成一個全局變量res，用來記錄最後一次找到3的位置。初始時res = -1.

2、首先找到中間的數，如果>3,則在左部分進行二分搜索，此時找到了3，將res的值更新爲3，

3、找到3之後，繼續對左部分進行二分搜索，接下來找到中間的數2，接着對右部分進行二分搜索，找到3，此時就是我們要的值，更新res的值，爲2，返回2。

案例三：

給定一個有序數組arr，返回arr中的最小值。有序循環數組是指，有序數組左邊任意長度的部分放到右邊去，右邊的部分拿到左邊來。比如數組[1,2,3,3,4]，是有序循環數組，[4,1,2,3,3]也是。

思路：

1、假設我們在數組arr的L到R之間找最小值，如果arr[L] < arr[R]，說明這個數組整體有序，最小值自然是最左邊的arr(L)，返回arr(L)即可。

2、如果arr[L] >= arr[R]，說明中間可能包含循環的部分，比如數組[2,2,3,1,2]我們考慮L到R的處於中間位置M的數，

3、如果發現arr(L)>arr(M),說明最小值只可能出現在L到M的範圍上，因爲只有arr[M]是循環過的部分時，纔有可能出現arr[L]>arr[M]的情況。比如數組[7,8,9,1,2,3,4,5,6],arr[L] = 7 ,arr[M] = 2 , arr[R] = 6，最小值1依舊在左半部分，此時在左部分繼續進行二分搜索。

4、如果發現arr[M]>arr[R]，說明最小值只可能出現在右半部分，比如說數組[4,5,6,7,8,9,1,2,3]，最小值1出現在右部分，此時在右部分就繼續進行二分搜索。

5、如果arr[L]>arr[M]和arr[M]>arr[R]這兩個條件都不滿足，即arr[L]<=arr[M]和arr[M]<=arr[R]，說明三值相等，我們無法繼續用二分搜索實現尋找最小值，比如數組[2,2 ... ... 2,1,2 ... ... 2,2。只能通過遍歷的方式在arr[L]和arr[M]上尋找最小值。