---待更新---北師大-B：外掛使用拒絕

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待更新

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鏈接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/117/B
來源：牛客網

時間限制：C/C++ 1秒，其他語言2秒
空間限制：C/C++ 32768K，其他語言65536K
64bit IO Format: %lld

題目描述
ATG5是ATG系列最新作，遊戲故事發生以美國洛杉磯及其周邊地區爲原型的城市Sos Lantos，是現實地區中的洛杉磯和南加州。製作單位拍攝了超過25萬張相關照片，並且研究了人口調查和汽車銷售數據，以建立遊戲中的世界。

ATG系列歷來都是以黑幫生活爲背景的知名動作冒險遊戲。主人公自然與黑道脫不了干係，在ATG5中游戲元素將會得到增強，加入了更加開放自由的世界，以故事驅動，以任務爲準的遊戲玩法和多人模式。故事主題聚焦金錢永不眠的南加利福尼亞。這次作品是有史以來最具活力的和最多元化的開放式世界，作爲玩家可以反覆進入三個角色的生活，玩交織在一起的所有內容。
ATG5這款遊戲質量很高，但是外掛猖獗。。。

最近，三七開發現了一款神奇的外掛，可以讓他在多個賬號之間轉移金錢。
神奇外掛的神奇不止於此，當他把一個賬號的金錢轉移到另一個賬戶時，原來賬戶裏的金錢並不會減少！是不是很神奇？
三七開一共有n個賬號，每一天他都會通過這個神奇外掛把第1個賬號的金錢“轉移”到第2個賬號，再把第2個賬號的金錢“轉移”到第3個賬號，……，再把第n-1個賬號的金錢“轉移”到第n個賬號。

但是三七開忘了一件事情，遊戲中金錢數量是有上限的，每當一個賬號的金錢數大於等於1000000007(=1e9+7)時，這個賬號的金錢數就會對1e9+7取模，即變成金錢數除以1e9+7的餘數。儘管如此，三七開還是很開心地繼續使用着他的神奇外掛，並且沒有花賬號裏的一分金錢。
然而，在三七開使用了k天神奇外掛之後，B星公司（ATG5的發行公司）發現了他的開掛行爲。B星公司對使用外掛行爲非常仁慈，決定不對三七開進行封號處理，而是將三七開的所有賬號的金錢數恢復至他開掛以前的數值。但服務器並沒有關於那麼久遠的數據的存檔，只有現在的金錢數的數據，以及檢測到的開掛天數k。

你能幫助B星公司恢復三七開的賬號數據嗎？

輸入描述:

第一行是一個正整數T(T ≤ 15)，表示測試數據的組數，
對於每組測試數據，
第一行包含兩個整數n(2 ≤ n ≤ 1000),k(0 ≤ k ≤ 100000000)，表示賬號個數和開掛天數，
第二行包含n個小於1e9+7的非負整數，第i個整數表示當前第i個賬號的金錢數。

輸出描述:

對於每組測試數據，輸出一行，包含n個以空格分隔的非負整數（每個數範圍小於109+7，注意不要有行末空格），第i個整數表示開掛前第i個賬號的金錢數。

示例
輸入

2
3 1
3 2 1
4 2
1 2 1 2

輸出

3 1000000006 1000000006
1 0 1000000005 2

解題思路：
一：
dp數組表示之前未使用外掛之前的每個帳號的金錢數
假設第一個賬號金錢數爲x，其他都爲0；
則得到下圖：表示在第i天第j個帳號的金錢數

i\j	1	2	3	4	5	6	7	…	n
0	x	0	0	0	0	0	0	…
1	x	x	x	x	x	x	x	…
2	x	2x	3x	4x	5x	6x	7x	…
3	x	3x	6x	10x	15x	21x	28x	…
4	x	4x	10x	20x	35x	56x	84x	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
k	x	k*x	[(k+1)*k/2]x	[(k+2)*(k+1)*k/6]x	…	…	…	…	[(k+n-2)(k+n-1)*…*k/(n-1)!]x

   由圖可知，第一個帳號的金錢數x不變，而其他的由（本金）和（左邊帳號的值）組成，即dp[ i ][ j ]=dp[ i -1 ][ j ]+dp[ i ][ j - 1 ]；觀察當i==k（即第k天）時帳號的金錢，可得出當j==n時，帳號的金錢數爲 Cn−1n−1+k−1∗x$C_{n-1+k-1}^{n-1}\ast x$ 。這是當第一天第一個帳號金錢數爲x，而其他帳號均爲零的情況，即反映了一個帳號對其後帳號金錢數的影響。

設每個帳號初始值爲init[ i ],即
v[1] 不變
v[2]=init[1]的影響+init[2]
v[3]=init[1]的影響+init[2]的影響+init[3]
v[4]=init[1]的影響+init[2]的影響+init[ 3 ]的影響+init[4]
······
v[n]=init[1]的影響+init[2]的影響+······+init[n-1]的影響+init[n]
公式化即
  v[n]=Cn−1n−1+k−1$C_{n-1+k-1}^{n-1}$ * init[1] + Cn−2n−2+k−1$C_{n-2+k-1}^{n-2}$ * init[2] + … + C11+k−1$C_{1+k-1}^1$ *init[n-1] + C00+k−1$C_{0+k-1}^0$ *init[n]

因爲v[1]=init[1];知道了init[1]的值，可以一步步求解每個帳號的初始值；

二：
還有一點需要注意，即題中給你的並不是每個帳號的實際金錢數，而是對1e9+7取模過的值；
即 v[2] = （C11+k−1$C_{1+k-1}^1$ *init[1]+init[2]）% mod ；因爲init[2] < mod,
所以原式=（（C11+k−1$C_{1+k-1}^1$ *init[1])） % mod +init[2]） % mod ；
分兩種情況：
<1>：（（C11+k−1$C_{1+k-1}^1$ *init[1])） % mod +init[2]）< mod ;
init[2] = v[2] -（C11+k−1$C_{1+k-1}^1$ *init[1])） % mod ;
<2>：（（C11+k−1$C_{1+k-1}^1$ *init[1])） % mod +init[2]）>= mod ;
init[2] = v[2] + mod -（C11+k−1$C_{1+k-1}^1$ *init[1])） % mod ;
因爲這兩種情況只有一個成立，所以兩個方程解出來的一定有一個是合法的解。

三：
接下來是組合數取模，需要用到乘法逆元，對於此題可以用 費馬小定理 來把除法轉化爲乘法

Cn−1n−1+k−1$C_{n-1+k-1}^{n-1}$ %mod =(k−1+n−1)∗(k−1+n−2)∗…∗(k−1+n−(n−1))(n−1)!$\frac{(k-1+n-1)\ast (k-1+n-2)\ast \dots \ast (k-1+n-(n-1))}{(n-1)!}$ % mod

= (k−1+n−1)∗(k−1+n−2)∗…∗(k−1+n−(n−1))(n−1)!$\frac{(k-1+n-1)\ast (k-1+n-2)\ast \dots \ast (k-1+n-(n-1))}{(n-1)!}$ * [(n−1)!](mod−1)$[(n-1)!{]}^{(mod-1)}$ % mod

=[(k−1+n−1)∗(k−1+n−2)∗…∗(k−1+n−(n−1))]$[(k-1+n-1)\ast (k-1+n-2)\ast \dots \ast (k-1+n-(n-1))]$ *[(n−1)!](mod−2)$[(n-1)!{]}^{(mod-2)}$ % mod

=｛[(k−1+n−1)∗(k−1+n−2)∗…∗(k−1+n−(n−1))]$｛[(k-1+n-1)\ast (k-1+n-2)\ast \dots \ast (k-1+n-(n-1))]$ % mod ｝*｛ [(n−1)!](mod−2)$[(n-1)!{]}^{(mod-2)}$ % mod ｝

式子的前半部分直接求，後半部分可以用快速冪，因爲值都要使用多次，可以算一遍存在數組裏；即兩個數組：
<1> kn[ i ] 表示 (k-1+i-1) * (k-1+i-2) * … *(k-1+1) % mod ;
<2> nn[ i ] 表示 [(i−1)!](mod−2)$[(i-1)!{]}^{(mod-2)}$ % mod ;

再利用步驟二中的式子求解即可；