大話數據結構學習之（一） 時間空間複雜度

算法時間複雜度：

推導大O階：

1、用常數1取代運行時間中所有的加法常數；

2、在修改後的運行次數函數中，只保留最高階；

3、如果最高項存在且不是1，則去掉與這個項相乘的常數；得到的結果就是大O階。

常數階

線性階 如單層for循環

對數階 如

	while (count<n)
	{
		count = count * 2;
	}

平方階 如雙層for循環

	// 下面的嵌套循環，時間複雜度是多少呢？
	int i,j;
	for (i=0; i<n; i++)
	{
		for (j=i; j<n; j++)
		{
			// 時間複雜度爲O(1)的程序步驟序列
		}
	}

當i=0時，內循環執行了n次，當i=1時，執行了n-1次，……當i=n-1時，執行了1次。所以總的執行次數爲：

n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2

用我們推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高階，因此保留n^2/2；第三條，去除這個項相乘的乘數，也就是出去1/2，最終這段代碼的時間複雜度爲O(n^2)。

常見時間複雜度：

耗費時間：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

最壞情況與平均情況：

最壞情況運行時間是一種保證，那就是運行時間將不會再壞了。在應用中，這是一種最重要的需求，通常，除非特別指定，我們提到的運行時間都是最壞情況的運行時間。

平均運行時間是所有情況中最有意義的，因爲它是期望的運行時間。 現實中，平均運行時間很難通過分析得到，一般都是通過運行一定數量的實驗數據後估算出來的。

一般在沒有特殊說明的情況下，都是指最壞時間複雜度。

算法空間複雜度：

一般情況下，一個程序在機器上執行時，除了需要存儲程序本身的指令、常數、變量和輸入數據外，還需要存儲對數據操作的存儲單元。若輸入數據所佔用空間只取決於問題本身，和算法無關，這樣只要分析該算法在實現時所需的輔助單元即可。若算法執行時間所需的輔助空間相對於輸入數據量而言是個常數，則稱此算法爲原地工作，空間複雜度爲O(1)。

當不用限定詞地使用“複雜度”時，通常都是指時間複雜度。