歐拉函數的實現

歐拉函數的實現

定義1 ：設R是模n的的一個剩餘類，若有 aϵR$aϵR$ ,使得gcd(a,n)=1，則稱R是n的一個簡化剩餘類。
定義2 ：對於正整數k，令函數φ(k)$\phi \left(k\right)$ 的值等於模k的所有簡化剩餘類個數，稱φ(k)$\phi \left(k\right)$ 爲歐拉函數。

從直觀上將，歐拉函數φ(n)$\phi \left(n\right)$ 的值爲[1,n-1]中與n互質的數字的個數。直接找與n互質的數字很難，因此可以轉換思維，去找與n不互質的數字有多少個。因此算法步驟如下：

1. 找出n的所有不重複的素因子
2. 根據容斥定理求出有多少數字與n不互斥。令k爲若干個素因子的積，則有m=⌊n−1k⌋$m=\lfloor \frac{n-1}{k}\rfloor$ 個數能被k整除，當k爲奇數個素因子的積時，則總個數加m，否則總個數減m。
3. 由於容斥定理需要遍歷所有素因子的組合，因此，比如有3個素因子，則循環從1到111（二進制）就可以遍歷所有組合情況。（其中某位爲1表示對應的素因子參與計算。）

c++實現如下

int Euler(int n){
    int r = n-1;
    vector<int> p;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if (n%i==0){
            p.push_back(i);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if (n>1)  p.push_back(n);
    int sum = 0;
    for (int comb=1;comb<(1<<p.size());comb++){
        int mul=1,count=0;
        for (int i=0;i<p.size();i++){
            if (comb&(1<<i)){
                mul *= p[i];
                count++;
            }
        }
        int num = (r)/mul;
        if (count&1) sum+=num;
        else  sum-=num;

    }
    return r-sum;
}