matlab與線性代數實驗基礎
作者：xuan97916
一、行列式
1、行列式的輸入
方括號內逐行鍵入元素，同一行元素用逗號或者空格，兩行元素之間用分號隔開。
在命令的末尾使用分號會終止輸出！
A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
2、行列式元素的表示
可以用一個下標表示（從上到下之字形）也可以用兩個下標表示（行列）如
A(1,2) =A（4）
3、行列式的基本運算
· （1）讀取整行：A(行數,:)
（2）讀取整列：A(:,列數)
(3)讀取行列式中的部分行列b=A([行數,行數```],[列數,列數```])
(4)去掉行列式中的某些行列
A([行數,行數,…],:) =[ ]
A(:,[列數,列數,…]) =[ ]
(5)計算行列式的值
det(A)
二、矩陣
1、矩陣的輸入
生成m階單位方陣：eye(m)
生成m*n階單位矩陣：eye(m,n)
生成m階全1方陣：ones(m)
生成m*n階全1矩陣：ones(m,n)
生成m階全0方陣：zero(m)
生成m*n階全0矩陣：zeros(m,n)
2、矩陣的輸入
加法：A+B
減法：A-B
數乘：k*A
矩陣乘法：A*B
矩陣轉置：A’或者Transpose[A]
矩陣的逆：inv（A）
矩陣的行列式 det(A)
矩陣的冪：A^m
3、矩陣的相關函數
（1）生成矩陣的行數與列數：size（A）
第一個數是矩陣的行數，第二個數是矩陣的列數。
（2）生成對角矩陣：diag（A）
生成對角矩陣主對角線上的元素
（3）生成上三角矩陣：triu（A）
（4）生成下三角矩陣：tril（A）
三、矩陣的應用
1、向量組的秩：rank（A）
2、判斷線性相關性
一般步驟（1）輸入向量組
（2）用A’將行向量轉置爲列向量
·· （3）用rref（A）命令求秩
例：判斷向量組a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否線性相關,並求秩。
>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %輸入矩陣
>>A=A’ % 將行向量轉置爲列向量再求秩
>>rank(A) %求秩
Ans = 3
（注意：當rank（A）等於向量組個數時，線性無關，否則線性相關）
3、求向量組的極大無關組
一般步驟：（1）輸入向量組，並將其進行轉置
（2）化爲分數形式
（3）將向量化爲行最簡型
（4）對線性相關性進行判斷
注：將矩陣化爲行最簡型的命令爲：rref（A）或者rrefmovie（A）
例1：求下列向量組的秩和一個極大線性無關組，並將其餘向量用該極大無關組線性表示。
a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];
>> A=A′ %將行向量轉化爲列向量進行運算
>> format rat %分數格式形式
>> rref(A) %將A變換爲行最簡型
ans =
1 0 0 2 1
0 1 0 -3 5
0 0 1 4 -5
0 0 0 0 0
因爲前三行的向量均不全爲0，且第1，2，3列的均爲1開頭，所以a1，a2，a3爲一個極大無關組。
例2：求下列向量組的秩和一個極大線性無關組，並將其餘向量用該極大無關組線性表示。
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
解：
A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
>> A=A′ %將行向量轉化爲列向量進行運算
>> format rat %分數格式形式
>> rref(A) %將A變換爲行最簡型
A1,a2,a4爲一個線性無關組，a3，a5可用其其線性表示
3、線性方程組的求解
（1）使用克萊姆法則求解
>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; %輸入係數矩陣
>>D=det(A) %判斷解的情況
D = 27
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
%將A賦值給不同變量
>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %將某行替換爲係數列
x1=D1/D %x求解x1
x1 = 3
>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D
>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D
>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
（2）使用矩陣左除法求線性方程的解
線性方程組AX=B的一個解爲X=A\B。
例：利用左除法求解上題中線性方程組的解.
>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
>>rank(A)
>> b=[8;9;-5;0];
>> x=A\b %左除法
x =
3.0000
-4.0000
-1.0000
1.0000
(3)利用矩陣的行（列）初等變換求線性方程組的通解
基本步驟：（1）將線性方程組表示成增廣矩陣的形式；
（2）對增廣矩陣實行初等變換，使增廣矩陣轉化爲行階梯形矩陣；
（3）得到方程組的解。
例：求解線性方程組
>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3]; %方程組的增廣矩陣
>>F=rref(A); %將方程組增廣矩陣化爲行階梯形矩陣
>>F %輸出增廣矩陣的行階梯形矩陣
F =
1 0 2 0
0 1 -1 1
0 0 0 0
由該階梯形矩陣，可得方程組：x1=-2x3 x2=x3+1
方程組解爲:
（4）求非齊次線性方程組的通解
非齊次線性方程組需要先判斷是否有解，若有解，再進一步求通解。
一般步驟爲：
第一步：判斷AX=b是否有解，若有解則進行第二步；（R(A)與R(A,b)比較，即比較係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩）
第二步：求AX=b的一個特解；（矩陣除法）
第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一個特解。
例：判斷方程組
%第一步：判斷係數矩陣與增廣矩陣的秩
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; %係數矩陣A
>> b=[1;1;-1]; %常數b
>> rank(A) %係數矩陣的秩
ans =
2
>> rank([A,b]) %增廣矩陣的秩
ans =
2
%求通解
化行最簡形，用rref命令
>> rref([A,b])
ans =
1 -1 0 0 0
0 0 1 -1 1
0 0 0 0 0
取x2,x4爲自由變量,從而通解爲：x1=x2,x3=x4+1
（2）先求出特解及導出組的基礎解系, 用命令null，例如：
>>x0=A\b %方程組的一個特解
x0 =
0
0
1
0
>>x1=null(A) %求導出組的基礎解系
x1 =
-0.7071 0
-0.7071 0
-0.0000 0.7071
-0.0000 0.7071
故原方程組的通解爲
(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0) +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2爲任意常數.
null是用來求齊次線性方程組的基礎解系的，加上'r'則求出的是一組最小正整數解，如果不加，則求出的是解空間的規範正交基。(x1=null(A,'r'))
四、運用矩陣運算進行圖像處理
1、圖像的讀寫
Imread：讀入各種圖像文件
[I,map]=imread(‘face.gif’)
Imwrite:輸出圖像，將圖像數據矩陣寫入文件中
Imwrite（i，‘face.gif’）
Imwrite（i，map，‘face.gif’）
2、圖像的顯示
Imshow：顯示各種圖像的函數
其中I是圖像數據矩陣，map是對應的顏色矩陣：
[I,map]=imread(‘face.gif’)
Imshow(I,map)
3、窗口的多開
[I,map]=imread(‘face.gif’)
Imshow(i.map)
[j,map]=imread(‘flowers.gif’)
Figure,imshow(j,map) %實現（j，map）窗口的多開
4、查看圖像的大小
[I,map]=imread(‘face1.gif’)
Size(i)
Ans=140 144 %表示高爲140 寬爲144
5、多幅圖像顯示在同一個對話框中
Subplot（n,m,p）將一個顯示對話框分成m行n列，並顯示第p幅圖像
Subplot（2，2，3），imshow（I3），title（‘I3圖像’）
表示將一個圖像顯示對話框分成2行2列，並在第3個位置顯示I3圖像，圖像標題爲“ I3圖像”
6、讀取圖像的基本操作
例1：讀取gif類型的圖像
>>[i.map]=imread(‘face.gif’)
>>Size(i)
>>size(map)
>>imshow(i.map)
>>A=[0 0 0;0 1 0;0 0 1] %設置顏色變換矩陣A
>>map=map*A %利用矩陣修改顏色表數據map
Imshow（I,map）
例2：讀取jpg類型的圖像文件
>>[I,map]=imread(‘face.jpg’)
>>size(i)
>>size(map)
>>imshow(I,map)
>>i((：，：，2)=i(：，：，2)*0 //將綠色矩陣的值設置爲0
>>imshow(I,map)
7、圖像相加、相減、數乘
（1）相加：降低圖像噪聲的影響
（2）相減：將兩圖的差異顯示出來
（3）數乘：數乘大於1的數，亮度增加；
數乘小於1的數，圖像變暗
五、在處理圖像水印中的應用
將水印嵌入到圖像中實質上是進行兩個圖像矩陣的加法運算
去掉水印則是進行矩陣減法運算。
（1）例：利用矩陣運算往圖像中嵌入文字水印的例子。
1．讀取原圖像hudie.jpg到I中。
>>I=imread('hudie.jpg');
>>imshow(I)
2．讀取原圖像hudie.jpg的大小，並將圖像的高、寬存到m、n中。
>>s=size(I);
>> m=s(1)
>> n=s(2)
3．讀取水印圖像huaduo_sy.jpg到J中，並將圖像大小調整成與原圖像相同。使用imresize()函數可以改變圖像的大小。
>>J=imread('xiaohui_sy.jpg');
>>imshow(J);
>>J1=imresize(J,[m,n]); //將圖像矩陣J的高、寬變爲m*n
4．將水印圖像的紅、綠、藍三個顏色矩陣乘上係數0.3，以降低像素點顏色的飽和度。
>>J1(:,:,1)= J1(:,:,1)*0.3;
>>J1(:,:,2)= J1(:,:,2)*0.3;
>>J1(:,:,3)= J1(:,:,3)*0.3;
5．將原圖像與改變後的水印圖像相加，嵌入水印。
>>I1=im2double(I);
>>J2=im2double(J1);
>> A=I1+J2;
>>imshow(A);
6．將嵌入水印後的圖像保存在hudie_add.jpg文件中。
>>imwrite(A,'hudie_add.jpg')
7．將處理過的數字圖像水印保存在xiaohui_syh.jpg文件中。
>>imwrite(J1, 'xiaohui_syh.jpg')
（2）去掉數字圖像水印
例：利用矩陣運算去掉圖像中的數字圖像水印的例子。
1．讀取嵌入水印的圖像hudie_add.jpg到SA中。
>>SA=imread('hudie_add.jpg');
>> imshow(SA)
2．讀取處理過的水印圖像xiaohui_syh.jpg到I中。
>> I=imread('xiaohui_syh.jpg');
3．將嵌入水印後的圖像與處理後的水印圖像相減，去掉水印。
>> SA1=im2double(SA);
>> I1=im2double(I);
>> A=SA1-I1;
>> imshow(A);
六、利用矩陣運算實現圖形的幾何變換
1.二維圖形變換
2、二維圖形組合變換
3、plot函數
（1）plot（Y）
如果Y 是向量，則以向量的索引爲橫座標，以向量元素值爲縱座標繪製圖形，以直線段順序連接各點；如果 Y 是矩陣，則繪製 Y 的各列；如果 Y是復向量，則以複數的實部爲橫座標，虛部爲縱座標繪製圖形
（2）plot(x,y)
命令中的 x 和y 可以爲向量和矩陣，當x和y的結構不同時，有不同的繪製方式。
–x、y 均爲 n 維向量時，以x 的元素爲橫座標，y 的元素爲縱座標繪製圖形。
–x 爲 n 維向量，y 爲m×n 或 n×m 矩陣時，以 x 的元素爲橫座標，繪製 y 的 m 個n 維向量。
–x、y 均爲 m×n 矩陣時，以x 的各列爲橫座標，y 的對應列爲縱座標繪製圖形。
（3）plot(x,y,LineSpec)
該命令中加入了 LineSpec參數，用於對圖形外觀的控制，包括線條的形狀、顏色和點的形狀、顏色。該參數的常用設置選項如表所示。
（4）圖形的比例變換
其中a代表橫座標放大的係數，d代表縱座標放大的係數
例1：由（1，2）、（4，5）、（3，6）三點組成的三角形，將其橫座標和縱座標同時放大2倍，求所得三角形的三點座標。
>>x=[1;4;3;1]; %將第一個座標在末尾重複寫一遍表示圖形閉合
>>y=[2;5;6;2];
>>A=[x y];
>>C=[2 0;0 2]; %C爲變換矩陣，使得其橫縱座標同時變爲2倍
>>B=A*C;
>>a=B(:,1);
>>b=B(:,2);
>> plot(x,y,':',a,b) %顯示兩個圖形的對比狀態
（5）圖形的對稱變換
A）對稱x軸
變換矩陣爲：
B）對稱Y軸
變換矩陣爲：
C）對稱座標原點
變換矩陣爲：
（6）圖形的旋轉變換
圖形在平面上繞座標原點逆時針旋轉 角，圖形發生旋轉變換。
變換矩陣爲：
注意：變換角度單位爲弧度角！
變換爲：
例：由（1,2）、（4，5）、（3，6）三點組成三角形，求將其逆時針旋轉45弧度角後所得的圖形。
x=[1;4;3;1];
y=[2;5;6;2];
A=[xy];
C=[cos(45)sin(45);-sin(45) cos(45)];
B=A*C;
a=B(:,1);
b=B(:,2);
plot(x,y,':',a,b)
（7）平移變換
將圖形沿X方向移動距離m，沿Y方向移動距離n，圖形形狀保持不變，圖形各點的座標分別增加了平移量m和n。
平移變換的矩陣運算表示爲 :
例：由（1,2）、（4，5）、（3，6）三點組成三角形，求將其橫座標向右平移4，縱座標向上平移5後所得的圖形。
x=[1;4;3;1];
y=[2;5;6;2];
z=[1;1;1;1];
A=[x y z];
C=[1 00;0 1 0;4 5 1];
B=A*C;
a=B(:,1);
b=B(:,2);
plot(x,y, ':',a,b)
（8）綜合應用
例：由（0，0）、（2，0）、（1，2）三點組成三角形，將其各點座標沿軸向上平移4後，再繞座標原點逆時針旋轉45弧度後，求所得的圖形。
x=[0;2;1;0];
y=[0;0;2;0];
z=[1;1;1;1];
A=[x yz];
C=[1 0 0;0 1 0;0 4 1];
D=[cos(45)sin(45) 0;-sin(45) cos(45) 0;0 0 1]; %如果進行了平移變化後，再進行旋轉變換時，注意將旋轉變化的矩陣的階數提高，第一第二列補0，第三列爲0 0 1
E=C*D;
B=A*E;
a=B(:,1);
b=B(:,2);
plot(x,y, ':',a,b)
七、Hill加密算法
1、基本步驟
加密：
（1）將明文信息分組，每組s個數值，組成n組明文向量
（2）選定一個加密密鑰，其階數爲s，將這個密鑰分別左乘每個數值矩陣
（3）對矩陣進行模26運算，得到密文向量
例：
解密：
即將密文按同樣方式分組，用逆矩陣對其進行處理，對出現的負值加上26得到明文向量
>>x1=[19;20;21]; %密文1
>>x2=[4;25;13]; %密文2
>>x3=[1;20;8]; %密文3
>>A=[1 2 3;1 1 2;0 1 2] %加密密鑰
>>det(A) %求矩陣的行列式，判斷是否可逆
ans = -1
>>B=inv(A) %B是A的逆
>>X1=A*x1;
>>X2=A*x2;
>>X3=A*x3;
>>y1=mod(X1,26)
>>y2=mod(X2,26)
>>y3=mod(X3,26)
>>x1=B*y1
>>x2=B*y2
>>x3=B*y3
最後，生成明文信息。MATLAB代碼如下：
>> x1=mod(x1,26)
>>x2=mod(x2,26)
>>x3=mod(x3,26)
注意：要根據密碼錶的總數來確定模除法的數值
作者：xuan97916
參考資料： [1]王豔君,趙明華,李文斌，線性代數實驗教程[M],清華大學出版社，2011.12