一混沌現象，定義及其基本特徵
二混沌系統的數學模型及分析
三杜芬系統檢測弱信號的思想
四混沌判別方法及混沌系統判據
五混沌系統的進一步發展
六進一步的想法和理解
一混沌的想象，定義及其特徵
混沌並非無序，簡單確定的系統不僅可以產生簡單確定的行爲，還可以產生貌似隨機的不確定行爲，即混沌行爲。混沌是指確定的宏觀的非線性系統在一定條件下所呈現的不確定的或不可預測的隨機現象；是確定性與不確定性，規則性與非規則性或有序性與無序性融爲一體的現象；目前在不同的學科領域裏對混沌有不同的理解和表達方法，體現出在各自領域中的應用特點。
1）混沌是非線性動力系統在一定控制參數範圍內產生的，對初始條件具有敏感依賴性的非週期行爲的狀態，處於這種行爲狀態的系統稱爲混沌系統。其中非線性是動力系統出現混沌行爲最根本的條件，是系統必然要具備的因素。
（2）在決定論混沌中，混沌是一種動力學系統的演化形式。在經典
力學中，不論耗散系統還是保守系統的運動，都可用相空間中的軌跡來表示。混沌運動是確定論系統中侷限於有限相空間的軌道的高度不穩定的運動。
（3）世界知名的動力氣象學家，混沌理論的創立者之一Lorenz指出混沌具有三個特點
1貌似隨機；
2對初始條件敏感的依賴性；
3敏感的依賴於初始條件的內在變化。
二混沌特徵
（1）對初始條件的敏感依賴性
表現爲對一條混沌軌道施加無窮小的擾動，則在時間演化過程中該軌道將以指數律發散的形式偏離原軌道。典型的現象是蝴蝶效應，也可用“失之毫釐，謬以千里”
（2）長期不可預測性
混沌的非線性動力學特性決定了混沌是不可以預測的，混沌對初始值的敏感性說明對其進行預測存在一定難度。對於一個混沌過程，對初始值的敏感性導致了每預測一次就會丟失一部分信息，當預測若干次後，丟失的信息越來越多，剩餘的信息不足以進行合適的預測，因此混沌不適合做長期預測。
（3）分形性
分形性指混沌的運動軌線在相空間中的行爲特徵，表示混沌運動狀態具有多葉，多層結構，且葉層越分越細，表現爲無限層次的自相似結構。混沌的相圖通常表現爲複雜的結構，通過放大可以觀測到自相似特徵。
（4）有界性
混沌運動軌線始終侷限於一個確定區域，混沌吸引子是混沌有界性的最好體現。
（5）遍歷性
混沌運動在其混沌吸引域內是各態歷經的，在有限時間內混沌軌道不重複地經歷吸引子內每一個狀態點的鄰域。
（6）混沌的運動限於有限區域且軌道永不重複
（7）具有豐富的層次和自相似結構
三Duffing系統數學模型及分析
混沌系統是由一類特殊的確定性數學模型所確定的非線性動力系統，動力系統由狀態與動態特性兩部分刻畫。狀態是指描述系統基本情況的物理參量，動態特性則是描述系統狀態如何隨時間變化的規則。
混沌模型的研究一方面爲混沌系統理論的發展提供了理論研究模型，另一方面也爲混沌信號的分析和處理以及混沌信號的應用研究奠定了基礎。
四混沌系統的判據
所有混沌系統一定是非線性系統，但非線性系統不一定是混沌系統。確定一個系統是否存在混沌需要從多方面加以分析，結合定性分析系統機理和其他方法，一下簡介一些常用的判別系統或時間序列是否具有混沌特性的方法。
（1）Lyapunov指數法
（2）Poincare截面法：在相空間中選取一截面，在截面上某一對共軛變量構成的截面稱爲Poincare截面.當Poincare截面上是一些成片的具有分形結構的密集點時，說明系統是混沌的。
（3）時域及相軌跡的直接觀察方法：在時域分析裏，可通過觀察各個狀態變量的時域波形，發現分岔和陣發性混沌。
（4）分維數：混沌運動具有某種潛在的秩序，並能以相對較少的自由度來描述。分維數給出了有關混沌的自由度的信息，分維數的具體形式有很多種
（5） Kolmogorov熵：關聯維數和Kolmogorov熵的計算可以在相空間中進行，包括最小二乘法等。
（6）分形理論分析方法。
以下着重討論杜芬系統：
（1）Duffing系統數學模型及分析
Duffing方程具體形式爲
（1）式中，k爲阻尼比；F是週期策動力幅值；是策動力角頻率。
（2）廣義Duffing方程是在方程等號右邊加上了外加強迫項，正由於系統的本徵頻率與外加週期強迫項頻率的相互作用，使得在該方程中，蘊含着極其豐富的內容。
（3 此係統的相變對週期小信號具有極強的敏感性，對白噪聲或者與參考信號頻差較大的週期干擾信號具有很強的免疫力，這就是杜芬混沌振子顯著的特徵，也是其檢測微弱信號的基礎。固定k=0.5，系統的相變比較明顯，一般固定k=0.5，去改變F。F從0依次增大，混沌振子系統依次歷經同宿軌道，分叉，混沌，臨界週期，大尺度週期五個狀態。
通過matlab工具編程可以實現杜芬系統的相軌圖的變化。首先將杜芬系統改寫成一個二維繫統如下
（1）當F=0時，可以得到相軌圖如下：
由於相軌圖只是定性的表示杜芬系統的狀態，而我們也可以用李雅普諾夫指數進行定量的描述，通過matlab工具也可獲得此時李雅普諾夫指數的圖像，由於只要存在一個正的李雅普諾夫指數就可以說明處於混沌狀態。
將系統轉化成一個三維的系統，通過matlab編程可以得到此時系統對應的李雅普諾夫指數
先將系統寫出一個三維的寫成
由於這是一個三維的系統，所以應該有三個李雅普諾夫指數，也就是應該有三條曲線，分別表示三個李雅普諾夫指數。此外，從圖中還可以看出不存在大於0的李雅普諾夫指數，所以系統的最終狀態不是混沌狀態，與應用相軌圖得到的結論是一樣的。
（2）當加入策動力幅值時的情況
例如取F從0開始增加取到0.66時，c取0.43，系統進入混沌狀態，得到相軌圖如下所示，也可以稱爲是奇怪吸引子
用李雅普諾夫指數圖像驗證得；
v 此圖是如果方程變成了加上信號F*cos(c*t)後的指數，其中F=0.66，c=0.43
v 由圖中可以看出，此時存在李雅普諾夫指數大於0 ，而且三個指數的和一定是負的，所以處於混沌狀態，與前面的相軌圖得到的結果是一樣的。
v （3）再考慮加入一個正弦信號，從而相當於改變了週期策動力，也會是相軌圖有所變化，此時加入正弦信號令此時方程變爲
相軌圖爲
利用李雅普諾夫指數爲；
v 總體而言，兩種方法互相驗證了系統處於混沌狀態。然而，當改變策動力幅值時，得到一系列的相軌圖，通過大量的仿真實驗可以得到一下相軌圖，分別爲週期1，週期2，大週期運動以及混沌運動
通過綜合分析可以如下結論：
v （1）策動力幅值對混沌運動有很大影響。在同一策動力頻率下，隨着策動力幅值的不同，動力學行爲不同，表現爲產生的混沌運動的相軌跡不同。
v （2）系統阻尼比k對產生混沌運動的閾值有影響。
v （3）從系統的相軌跡的變化分析中可以看出混沌系統的動力學行爲對初始參數是極其敏感的，因此，可以利用待測週期信號使系統動力行爲從混沌臨界狀態轉變到大尺度週期狀態的相軌跡的變化過程進行弱信號的檢測。這正是利用Duffing系統進行微弱週期信號幅值檢測的理論依據。
五混沌系統檢測弱信號的原理
v 微弱信號的幅值小,測量時又易受傳感器和測量儀器本身噪聲的影響,表現出的總體現象一般是有用的被測信號被多種強信號所淹沒。所以將弱信號導入混沌系統，利用混沌系統對初值的敏感性，來檢測出微小幅值得存在。混沌的初值敏感性是指，只要改變混沌方程中的參數，例如策動力幅值，相軌圖或者李雅普諾夫指數就有很大的變化。加入同頻率的弱信號，就相當於改變了策動力的幅值了。
v 利用混沌振子檢測微弱信號的基本思想是:將待測信號作爲混沌系統特定參數的補充而引入混沌系統,根據系統由混沌向有序的相變,判斷出待測微弱信號的存在(幅值、頻率、相位等)
v 具體檢測原理如下:首先在未加入待測信號之前調節系統的策動力f（注意在此處調節的是策動力f而不是阻尼k）使系統處於由混沌狀態向大尺度週期狀態過渡的臨界狀態,得到閾值fc。（其中閾值的獲取可以通過Melnikov方法來獲取）然後,加入同頻率（是指和週期策動力的的頻率相同）的待測信號αcos(t),
v 由於Duffing混沌系統對弱週期信號的敏感性,加入弱週期信號後使系統發生相變後進入大尺度週期狀態(由於該混沌系統對噪聲具有免疫力,故噪聲並不會影響系統的相變)。這時,再次調節策動力f使得系統再次處於混沌到大尺度週期的臨界狀態,得到策動力fc′。待測信號的幅值α=fc-fc′。（通過比較加入信號前後策動力幅值的大小就可以得到待測信號的幅值）（一般而言弱信號的幅值也是已知的，而且不同幅值的弱信號的李雅普諾夫指數也不同）
六混沌的進一步發展空間
（1）混沌振子無法檢測與其策動力頻率相差較大的微弱信號，
（2）系統發生混沌行爲時系統對參數的依賴性和混沌吸引子對噪聲的免疫力使其在微弱信號檢測方面具有很好的應用。這種檢測方法主要以相軌跡從混沌狀態向大尺度週期態的轉變爲檢測依據。因此對系統相軌跡圖模式的識別就可能存在誤判以致帶來誤差。所以就需要一個合適的指標來表示混沌系統相軌跡的狀態改變。所以採用李雅普諾夫指數來進行定量計算，從而能也可以很好地驗證了相軌跡圖的準確性）目前還沒有很合適的指標。
（3）分數維也是混沌系統的一個重要指標，是否也可以通過研究分數維來進行混沌系統的判據，來研究檢測弱信號。
進一步想法和發展
（1）將混沌系統的策動力幅值調到混沌狀態向大週期狀態過度的臨界閾值，此時的閾值一般是都已經算出來的，此時加入同頻率的導波信號（對噪聲的免疫性），根據三角函數的計算也可以看出相當於改變了此時的策動力幅值，由於系統對初始值的敏感性，系統就會發生相軌跡的改變，從而來說明有弱信號的存在。因爲對噪聲的免疫性，若加入的是噪聲，圖像只會抖了抖。另外系統對於頻率與策動力頻率相差很大的信號也有免疫力，也無法進行識別。
（2）一般來說利用杜芬系統檢測的都是和週期策動力頻率相同的弱信號，此時若改變導波信號的幅值，產生的相軌跡是不同的，計算出的李雅普諾夫指數也是不同的。而且幅值改變很小，對系統的影響也特別大，這也是杜芬系統的初值敏感性。而且一般阻尼k是固定取0.5的。
（3）固定一個F，或者說怎麼從李雅普諾夫指數的圖像來求出此時對應的李雅普諾夫指數呢。由於系統最終會趨於穩定，也就是李雅普諾夫指數也會趨於一個定值，用最後穩定的那個約數來表徵李雅普諾夫指數也可以，或者利用曲線的平均值來求也可以。或者利用最小二乘法進行擬合。
（4）一般來說用導波信號去識別裂紋時，是利用的已知頻率的導波，一般而言，在不同的結構中利用的頻率也不同，例如在板中和圓筒中都是利用的不同頻率的，但是頻率是已知的。波在傳播過程中，傳播方式有三種。其中由於外界的一些阻礙，導波信號在傳播中會產生衰減，發生耗散，所以返回的波中，不確定是否有信號了。進而用混沌系統進行檢測是否存在弱信號。